t;/2＋x<3k次方>/2＋……但是0＜x<k次方>＜1

将这个式子取k＝1，2，3，……，n的和，也就是从『东边的树木』回到『东边的森林』。

『东边的森林』＝Σ<k=1到n,>『东边的树木』

＝Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/>>

泰勒展开式。

＝Σ<k=1到n,x<1k次方>/1＋x<2k次方>/2＋x<3k次方>/3＋……>

里面的和也用Σ表示。

＝Σ<k=1到n,Σ<m=1到∞,x<mk次方>/m>>

交换和的顺序。

＝Σ<m=1到∞,Σ<k=1到n,x<mk次方>/m>>

在这里由于m不被里面的Σ约束，所以将1/m提到外面。

＝Σ<m=1到∞,Σ<k=1到n,x<mk次方>>

将内侧Σ的展开，确定与自己理解的一致。

＝Σ<m=1到∞,>

我们在中间交换过和的顺序，在无穷级数中交换和的顺序时要非常注意，不过这里就先不深究了。

在这里休息一下，由于现在要求的是上界，所以要试着找出比『东边的森林』更大的式子，在这里将有限和视为无限和做出不等式，做出无限和是因为要利用等比级数的求和公式，我们继续前进吧。

『东边的森林』＝Σ<m=1到∞,>

将内侧的有限和作成无限和的不等式。

『东边的森林』＜Σ<m=1到∞,>

令0＜x<m次方>＜1，然后使用等比级数的公式。

＝Σ<m=1到∞,/)>

在这里再度停下脚步，就算不求出最后的式子也没关系，因为现在要求上界，只要找出更大的式子就可以，所以这次要注意分数/下的分母1－x<m次方>，将这个分母用更小的式子取代的话，还可以做出不等式。

懂吗？是将『让式子更容易处理』与『做出稍微大一点的式子』交换，将容易处理的式子妥协成稍微大一点的上界，每次妥协的时候就会出现不等号。

继续观察『东边的森林』吧。

『东边的森林』＜Σ<m=1到∞,/)>

将分母因式分解。

＝Σ<m=1到∞,/)>

将分母项中最小的x<m－1次方>以和形成不等式。

＜Σ<m=1到∞,/)>

因为x<m－1次方>有m个，所以用积表示。

＝Σ<m=1到∞,/mx<m－1次方>)>

「将这个式子整理之后，蒂德菈会大叫喔。」米尔迦对蒂蒂露出不怀好意的微笑。

「咦？米尔迦学姐，为什么我会大叫？」

「那就来试试吧。」

『东边的森林』＜Σ<m=1到∞,/mx<m－1次方>)>

将式子做整理。

＝Σ<m=1到∞,)>

将没有受到Σ限制的因式移到外面……

＝)Σ<m=1到∞,1/m<平方>>

「啊～～啊啊啊啊啊啊！」

「看吧。」

「贝塞尔问题！这式子是π<平方>/6！」蒂蒂叫道。

「没错。」米尔迦竖起食指。

◎◎◎

没错，我们在此心怀感激地使用尤拉老师解出的贝塞尔问题的结果吧。

Σ<m=1到∞,1/m<平方>>＝π<平方>/6贝塞尔问题

用了这个就能再继续往下走。

『东边的森林』＝Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/>>

＜)Σ<m=1到∞,1/m<平方>>

＝)贝塞尔问题

对于『东边的森林』的观察就到这里。

对了，为了以后的方便，就令t＝x/吧，所以『东边的森林』如下所示。

※※『东边的森林』的上界

Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/>>＜t但是t＝x/

10．7．4『西边的山丘』调和数

我们的旅程已经过了一半，回到『岔路』吧，这次要向『西边的山丘』前进。

令0＜x＜1，现在开始要检讨㏒<以e为底，1/x<n次方>>。