次方>＜P<0>x<0次方>＋P<1>x<1次方>＋……＋P<n>x<n次方>＋……

而我们还知道生成函数P的另一个形式，没错，就是积的形式，所以右边可以替换成下式。

P<n>x<n次方>≤1/×1/×1/……

将两边除以x<n次方>。

P<n>＜1/x<n次方>×1/×1/×1/……

右边的式子会比P<n>还要大，也就是上界的候补，但是无限积并不好处理，所以要将其限制在n枚的情况，要从下面的有限积思考。

P<n>≤1/x<n次方>×1/×1/×1/……1/

到这个不等式为止还算单纯，但是右边的积仍旧很难处理，这里要稍微动一下脑。

……我是这样想的，因为积很麻烦，所以想把它变成和，要怎么将积变成和呢？

10．7．2『第一个转角』将积变成和

「只要取对数就好了，取对数的话，就能将积变成和了。」我说。

「就是这样。」米尔迦回答。

◎◎◎

就是这样。

P<n>≤1/x<n次方>×1/×1/×1/……1/

将两边取对数，这里是『第一个转角』，我们从家里出发，从『找寻P<n>上界的道路』转到『找寻㏒<以e为底，P<n>>上界的道路』。蒂德菈，没问题吧？虽然细节的讨论也很重要，但是不能迷失了大方向。

㏒<以e为底，P<n>>≤㏒<以e为底，1/x<n次方>×1/×1/×1/……1/>

取了对数之后，积就变成和，会得到以下式子。

㏒<以e为底，P<n>>≤㏒<以e为底，1/x<n次方>>＋㏒<以e为底，1/>＋㏒<以e为底，1/>＋㏒<以e为底，1/>＋……＋㏒<以e为底，1/>

长式子让人厌烦，用Σ来写吧，意思一样。

㏒<以e为底，P<n>>≤㏒<以e为底，1/x<n次方>>＋Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/>>

在这里问题分成东西两条路，也就是『岔路』。之后还会回来，所以要将这里记好。

㏒<以e为底，P<n>>≤<以e为底，P<n>>≤

㏒<以e为底，1/x<n次方>>＋Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/>>

西边的山丘↑东边的森林↑

往西边前进的话是山丘，往东边前进则是森林。

10．7．3『东边的森林』泰勒展开式

先看『东边的森林」吧。

『东边的森林』＝Σ<k=1到n,㏒<以e为底，1/>>

东边的森林有n棵树木，现在要求构成『东边的森林』的『东边的树木』，也就是㏒<以e为底，1/>的上界。

现在的问题需要评估下面的函数。

『东边的树木』＝㏒<以e为底，1/>

在思考的同时，令t＝x<k次方>为函数f。

f＝㏒<以e为底，1/>

要研究这个函数f，该怎么做比较好呢？你说说看，蒂德菈，该怎么找呢？

◎◎◎

「咦？我……吗？可是我还不太清楚㏒是什么……对不起。」

「这里有不知道的函数f，你看你，蒂德菈，不是『一辈子都不会忘』吗？」

「啊……泰勒展开式！」

「没错。」米尔迦说：「将f以泰勒展开式变回幂级数。」

◎◎◎

将f以泰勒展开式变回幂级数。

由于会用到对数函数的微分以及合成函数的微分，这里就只写出结果。

函数f＝㏒<以e为底，1/>以泰勒展开式成为下列幂级数。

『东边的树木』＝㏒<以e为底，1/>

＝t<1次方>/1＋t<平方>/2＋t<立方>/2＋……但是0＜t＜1

这里将t还原成xk，就可以得到『东边的树木』的幂级数展开。

㏒<以e为底，1/>＝x<1k次方>/1＋x<2k次方&g