各项表示所有支付的可能性。」

＝x<0＋0＋0次方>

＋x<0＋0＋3次方>

＋x<0＋2＋0次方>

＋x<0＋2＋3次方>

＋x<1＋0＋0次方>

＋x<1＋0＋3次方>

＋x<1＋1＋0次方>

＋x<1＋2＋3次方>

「譬如说，x<1＋2＋0次方>这项的指数1＋2＋0可以像下面这样解读。」

1→使用①支付的金额为1元

2→使用②支付的金额为2元

0→使用③支付的金额为0元

「……学长，请等一下，我还是不懂x<1＋2＋0次方>的意思，假如要①1枚、②1枚、③0枚的话，指数不要用1＋2＋0改用1＋1＋0不是比较好吗？」专注在式子上的蒂蒂用认真的表情发问。

「不是的，在这里不是『k元硬币的枚数』，而是要用『以k元硬币支付的金额』来想。」

「我的话会称为『k元硬币的贡献度』。」米尔迦提出建议。

「学长，我稍微懂了，的确展开式子后的x指数，就可以知道用①与②与③支付的所有可能性……呃，不过真不可思议，为什么一定要用这个式子呢？」

「这是因为『式子的展开方法』和『支付方法的所有可能性』刚好一致的关系，展开的时候会如下产生各项。」-

从x<0次方>＋x<1次方>选出一项-

从x<0次方>＋x<平方>选出一项-

从x<0次方>＋x<立方>选出一项，做出积

「这样做的话，就和下面的支付方法是一样的思考方式。」-

选出用①来支付的金额-

选出用②来支付的金额-

选出用③来支付的金额，做出和。

「啊，原来如此，我懂了。为了做出全部的组合，就利用式子展开的乘法分配吧……嘿～～」蒂蒂似乎能接受了。

我继续说明下去。

「展开的式子整理后会变成下面的算式，将同样有xk的项集中依照指数从小到大排列，也就是整合同类项。」

式子

＝x<0＋0＋0次方>＋x<0＋0＋3次方>＋x<0＋2＋0次方>＋x<0＋2＋3次方>展开

＋x<1＋0＋0次方>＋x<1＋0＋3次方>＋x<1＋1＋0次方>＋x<1＋2＋3次方>

＝x<0次方>＋x<立方>＋x<平方>＋x<5次方>＋x<1次方>＋x<4次方>＋x<立方>＋x<6次方>计算指数

＝x<0次方>＋x<1次方>＋x<平方>＋2x<立方>＋x<4次方>＋x<5次方>＋x<6次方>整合同类项，并按指数顺序排列

「蒂蒂，x<立方>的系数是2喔。你知道这代表什么意思吗？」

「嗯，系数是2的话……就是成为x<立方>的项有2个。实际上就是与……原来如此，我知道了，x<立方>的系数是2的意思，就是表示支付金额为3的时候有2种方法。」

「就是这样，将蒂蒂你现在说的再想一下。在我们面前的是使用形式变量x的乘幂和，然后x<n次方>的系数就是『支付金额为n的的方法数』。那『支付金额为n的的方法数』是什么呢？」

「『支付金额为n的的方法数』……啊，是分拆数！」

「是的，这个问题10－－4将硬币的枚数与种类加上限制，与村木老师的问题10－1和10－2出现的分拆数不同，不过却很相似，使用形式数x的乘幂和，其系数会变成『支付金额为n的的方法数』——这无疑是生成函数，也就是说，这个式子就是『加上限制的分拆数』的生成函数。」

※※问题10－4的『加上限制的分拆数』的生成函数

「原来如此……说到生成函数，就会想到很复杂的无穷级数，不过也是有像一样，用小小的有限积做出的生成函数啊，迷你迷你生成函数……」蒂蒂做出了捏饭团的姿势。

「那么……」我继续说下去。

◎◎◎

那么，到这里为止是『有限制的分拆数』，现在开始要解除硬币数与种类的限制，不过讨论的方向仍然一样，然而已经不是像的『有限和的有限积』，而是像下面算式的『无限和的无限积』。

①的贡献度