×②的贡献度

×③的贡献度

×④的贡献度

×……

×的贡献度

×……

无限和可以让硬币的枚数不受限制。

无限积可以让硬币的种类不受限制。

常这个无限和的无限积展开时，支付方式的可能性就会一口气出现，取积之后整理同类项，调查x<n次方>的项，可以发现x<n次方>的系数就是n的分拆数，这是因为x<n次方>的系数与『支付n元』的方法数相同。

『将系数变为分拆数的形式幂级数』——也就是上面所写的无限和的无限积为『分拆数的生成函数』，那P就可以写作下面这样。

P＝

×

×

×

×……

×

×……

接着转换视点，将形式变量x设定成0≤x＜1范围里的实数，然后用等比级数的求和公式，于是k元硬币的贡献度就会变成下面的分数。

x<0k次方>＋x<1k次方>＋x<2k次方>＋x<3k次方>＋……＝1/

由P展开得来的无限和全部都可以用这个公式变成分数。

P＝1/

×1/

×1/

×1/

×……

×1/

×……

这样『无限和的无限积』就变成了『分数的无限积』，这就是变成积形式的生成函数P，将×以×表示。

※※解答10－3『积形式』)

P＝1/×1/×1/……

整理一下到目前为止的部分，我为了解出木村老师的问题，也就是求P<15>而想要求出一般项P<n>，然后为了抓住P<n>的生成函数P而设定问题10－3，结果上面解答10－3所示，已经求到了积形式的生成函数P。

接下来我要思考下一个问题X。

问题X

函数P幂级数展开x<n次方>的系数为何？

P＝1/×1/×1/……

x<n次方>的系数就是P<n>，从求一般项P<n>，来讨论问题10－2的不等式P<15>＜1000。

※※『求分拆数的一般项』的旅行地图

分拆数→生成函数P

↓问题10-3

分拆数的一般项P<n>←积形式的生成函数P

问题X

到这里我停下讲解。

◎◎◎

「你打算从正面突破吧。」米尔迦立刻接在我之后说。

「没错。」

「嗯，不过，只是要证明问题10－2的不等式，不用非得求出P<n>……对吧？」米尔迦说。

「嗯……理论上……是这样没错……」我变得有点不安。

「我这样说，是因为我不用求一般项P<n>，也不用求P<15>，就能解答题10－2。」米尔迦淡淡地说。

「咦？」

10．5．2米尔迦的发表

「要证明问题10－2的不等式，并不是非得求出P<15>不可。」

米尔迦边说边站到黑板的前面，取代了我的位置。

「就如同蒂德菈所说的『非常大的数』，分拆数P<n>是以急遽的速度在增加的函数，而现在我想先调查分拆数P<n>的上界。」

「什么是上界？」蒂德菈马上发问。

「上界就是对任意整数n≥0满足P<n>≤M的函数M。当n变大时，P<n>虽然也会跟着变大，但是却不会大于M，这就是M的意义，上界有无数个，不局限于一种。」

「上方的界线，是这意思吗？」蒂蒂将手放在头上。

「没错，上界这个用语虽然是用在定数上，但是在这里并非定数。M可以说是n的函数。观察P<0>，P<1>，P<2>，P<3>，P<4>之后，就可以发现他们等于斐波那契数的F<1>，F<2>，F<3>，F<4>，F<5>。」

P<0>＝F<1>＝1

P<1>＝F<2>＝1

P<2>＝F<3>＝2

P<3>＝F<4>＝3

P<4>＝F<5>＝5

米尔迦用手比出1，1，2，3，然后在5停了下来。