样……」

蒂蒂将两手捧住羞红的脸颊，大眼睛不断眨着。

这里是图书室，高中生的我们需要安静。

但是这些都已经不重要了。

现在……为我们的活力少女蒂蒂拍手！

所有无穷级数的和，

就像1＋1/2<n次方>＋1/3<n次方>＋1/3<n次方>……一样，

可以用广义的型态明白地展现，

当n为偶数时，可以藉由圆周率π的帮忙表示。

实际上，这些级数和对π<n次方>的比一直是有理数。

——尤拉[25]

第10章分拆数

告白的答案在银河的终点

——小松美和[8]

10．1图书室

10．1．1分拆数

一如往常的放学后。

「我拿来了。」米尔迦边说边走进图书室，她似乎是拿到了村木老师的问题。

我和蒂蒂望向放在桌上的纸张。

假设有面额为1元、2元、3元、4元……的硬币，倘若必须支付n元，其组合方式有几种？令组合的个数为P<n>。

举例来说，支付3元的方法有「3元硬币1枚」、「2元硬币一枚与1元硬币1枚」、以及「1元硬币3枚」这3种方式，故P<3>＝3。

问题10－1

求P<9>。

问题10－2

P<15>＜1000是否成立？

「只是算支付的方法，应该很简单吧。」高中一年级的学妹——活力少女蒂蒂说。

「是吗？」我说。

「咦？所谓P<9>就是支付9元的状况吧，依照『使用1元硬币的状况』、『使用2元硬币的状况』……的顺序思考就可以了吧？」

「蒂蒂，并没有那么简单，因为可以使用同样的面额，所以即使是使用1元的状况，也要考虑到『使用了几枚』。」

「学长我不会一直都是不小心忘了条件的蒂德菈喔，关于枚数我很清楚，只要冷静地慢慢往上数就没问题了。」蒂蒂似乎充满自信。

「是吗？一直往上数的话会失败喔，我想用广义的解法会比较安全，而且问题10－1的P<9>先不提，问题10－2的P<15>，应该会变成『非常大的数』。」

「真的吗，学长？『非常大的数』是多大？只是支付15元的吧？」

「蒂蒂，虽然只有15元，但是组合起来的话立刻就会爆发……」

碰。

一直没有说话的米尔迦用手拍了桌子，她想仿真爆发的音效吗？

我们愕然地停下对话。

「蒂德菈到那个角落，你去窗边的位置，而我在这里，大家都不要小说话、安静地思考。」

米尔迦一声令下，蒂蒂和我都点头同意。

「知道了还不快点行动。」

……我们就在放学后的图书室里在无声地开始用功。

10．1．2思考实例

面额依正整数变化的硬币，用这些硬币来支付n元，这是求支付的方法数——分拆数——的问题。

和从前一样，我先从小的数进行具体的思考，用实例来抓到感觉是很重要的。

当n＝0的时候，也就是支付金额为0的状况……只有「不支付」一种方法，方法数为1，也可以说P<0>＝1。

P<0>＝1支付0元的方法有1种

当n＝1的时候……只有「使用1个1元」一种方法，所以P<1>＝1。

P<1>＝1支付1元的方法有1种

当n＝2的时候……有「使用1个2元」与「使用2个1元」的方法，所以P<2>＝2。

P<2>＝2支付2元的方法有2种

当n＝3的时候……有「使用1个3元」与「使用1个2元、1个1元」与「使用3个1元」3种方法。

由于再这样写下去太麻烦，所以「使用1个2元、1个1元」这种方法，就用2＋1表现，也就是这种写法。

2＋1

当n＝3时有以下的3种方法。

3＝3

＝2＋1

＝1＋1＋1

等同于P<3>＝3。

P<3>＝3支付3元的方法有3种

唔，所谓的P<3>虽然是「支付3元的方法数」，不过也可以说成「将3分拆成数个正整数的方法数」，所以才被命名为「分拆数」吧。

n＝4的话，如下有5种，一共5个分拆，嗯，我已经抓到诀窍了

4＝4

＝3＋1

＝2＋2

＝2＋1＋1

＝1＋1＋1