然s<k>也是x的函数。」

s<1>＝＋x/1

s<3>＝＋x/1－/

s<5>＝＋x/1－/＋/

s<7>＝＋x/1－/＋/－/

我从背包里拿出图表用纸。

「画画看函数s<1>，s<3>，s<5>，s<7>，……的图，也就是将y＝s<k>以k＝1，3，5，7，……描绘，就可以清楚地发现这个函数会渐渐接近sinx。我将图画出来。

[插图：y＝sinx与y＝s<1>＝x/1在同一平面直角坐标系内]

[插图：y＝sinx与y＝s<3>＝＋x/1－/在同一平面直角坐标系内]

[插图：y＝sinx与y＝s<5>＝＋x/1－/＋/在同一平面直角坐标系内]

[插图：y＝sinx与y＝s<7>＝＋x/1－/＋/－/在同一平面直角坐标系内]

「喔……原来如此。学长，我不懂将sinx以幂级数表现是什么意思，虽然我能理解用『微分的规则』导出式子，但是会有种『所以呢？』的感觉。不过看到这张图，k变大之后sk会接近sinx就懂了，这样慢慢贴近正弦函数的样子好可爱。」

「是啊。」

「那、那个……学长。虽然我不太会说，那个sinx……就只是个名称吧，只是将某个函数以sinx表示而已，泰勒展开式也是将同样的函数以幂级数的形式表现。就『sinx』与『幂级数』来说，虽然看起来相当不一样，但是函数的性质没有改变，所以，变成幂级数的形式会相当方便。唔……不好意思我不太会表达。」

「不，不会不会，蒂蒂，你真的很厉害，能清楚地了解本质，就是这样，在要研究函数的时候，能将函数以泰勒展开式的形式展开，可以在比较方便的多项式延长线上进行研究，例如能像刚才一样思考的话会非常有用，因为是无限次所以必须特别注意演算，可是改用幂级数就会十分方便，话说回来，解斐波那契数列和卡塔兰数的时候，用的生成函数也是幂级数。」

「……总觉得好像我在学校上课听讲时，都会去注意比较细微的地方。而不了解整体概要，所以对于要学什么及正在做什么都感到一片混乱。不过学长的话正好相反，细微的地方……就好像之后再让我自己补充一样快速略过，但是对于为什么和正在做什么这种大方向却很明白。」

「嗯～～不是这样，是因为蒂蒂的理解能力……」

「就是这样！」

蒂蒂打断了我要说的话。

「就是这样，学长，就像刚刚我完全不懂微分、幂级数和泰勒公式展开式这些词也是第一一次听到，不过我却懂了，用了泰勒展开式就能像普通的多项式一样研究函数，虽然要我一个人做可能还不行……不过将困难的函数变成无穷多项式——幂级数——xk的无限和的方法，我已经能掌握了。」

蒂蒂将拳头紧握在胸前。

「我想我不会忘记今天学长教过我的泰勒展开式，今天的我已经确实记下来了，当要研究函数的时候就『用泰勒展开式试试看吧』，这都是学长的功劳……」

她的目光突然从我的脸上移开，转向桌上的图表用纸，蒂蒂的脸上不知为何染上一抹嫣红。

「所以……所以……虽然我很抱歉浪费学长的宝贵时间，不过我很喜欢听学长说话，非常地喜欢。学长，我……」

蒂蒂边说边抬起头，看着我毅然说：

「……我一辈子都不会忘记学长教过我的泰勒展开式！」

9．4自家

夜晚。

我在自己的房间看着从村木老师那里拿来的卡片，设定给我的如下。

问题9－2

若以下无穷级数收敛则求其值，若非收敛则说明之。

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>

首先先将Σ具体写出来，抓住式子的感觉。

Σ<k=1到∞,1/k<平方>>＝1/1<平方>＋1/2<平方>＋1/3<平方>＋1/4<平方>＋1/5<平方>＋……

虽然想进行下一步，不过似乎不是那么容易就能找到方法，先计算数值，也就是说，并非计算这个无穷级数，而是将这个的部分和以具体的n代入计算，白天都在注意蒂蒂的卡片，所以只计算到一半，先硬算看看。

Σ<k=1到1,1/k<平方>>＝1/1<平方>＝1

Σ<k=1到2,1/k<平方>>＝1＋1/2<平方>＝1.25

Σ<k=1到3,1/k<平方>&