lt;立方>……

↓微分

－cosx＝3×2×1×a<3>＋4×3×2×a<4>x<1次方>＋5×4×3×a<5>x<平方>……

↓微分

sinx＝4×3×2×1×a<4>＋5×4×3×2×a<5>x<1次方>＋……

↓微分

cosx＝5×4×3×2×1×a<5>＋……

↓微分.

.

.

「好的！」

「学长！我找到『规律性』了，会出现5×4×3×2×1这样规则的积……原来如此，『微分的规则』的『指数会下降』发挥效果了，我已经了解相乘数会有规则的变化。」

「没错没错，自己动手写出算式就能清楚体会这种感觉，不能只是看，动手写也是很重要的，蒂蒂。」

「真的是这样。」

「接下来就用求出的导函数，以x＝0观察式子会变成怎么样吧。」

「好的，是像小时候的牵牛花观察日记一样观察吧……嗯，因为sin0＝0且cos0＝1……」

0＝a<0>

＋1＝1×a<1>

0＝2×1×a<2>

－1＝3×2×1×a<3>

0＝4×3×2×1×a<4>

＋1＝5×4×3×2×1×a<5>

「发现『规则性』了！」

「嗯，左边的1写成＋1或许比较好，现在要求的是序列a<k>，将上式的各个a<k>整理到左边，5×4×3×2×1由于是阶乘，所以写成5!，这样就能做幂级数展开了，将下式的ak具体地写出来。」

sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……

「好的！0不用管，所以就是a<1>，a<2>，a<3>，…………好，完成了！」

「嗯，蒂蒂所写的这个幂级数展开，被称为sinx的泰勒展开式喔。」

※※sinx的泰勒展开式

sinx＝＋－＋－＋……

「我正想说是蒂德菈展开式呢……」

「……」

「……」

「……」

「……不、不过这好像很难记起来，好复杂。」

「确实是很复杂，不过你仔细看，式子里远留下许多推导时的痕迹，例如分母的1!，3!，5!这些阶乘就是不断微分指数、数字下降的结果。＋与－号的交错，没有x的偶次方项，这都是来自0，＋1，0，－1的环，自己动手导出的公式并不容易忘记。」

「哈哈……原来如此，或许没那么难……吧。」

「假如故意不用阶乘与乘幂来写的话，就会形成很有节奏感的有有趣算式。」

sinx＝＋－/3!)＋/5!)－/7!)＋……

「咦……看起来好漂亮，这样写也可以吗？」;

「当然没问题，为了增加乐趣或是方便理解，可以试试很多种不同的写法喔，尤拉也曾经在书里把x<平方>写成xx，不过考试的时候写成x×x就不太好，那么现在就可以解答卡片上的问题9－1了。」

「咦？啊，好的，我已经忘了卡片的事了……是这个吧。」

※※问题9－1

假设函数sinx如下展开幂级数，求此时之序列a<k>。

sinx＝Σ<k=0到∞,a<k>x<k次方>>

「可以依照k除以4所得的余数将数列a<k>分类。」我说。

※※解答9－1

a<k>＝0k除以4得到的余数为0的时候

a<k>＝＋1/k!k除以4得到的余数为1的时候

a<k>＝0k除以4得到的余数为2的时候

a<k>＝－1/k!k除以4得到的余数为3的时候

9．3．4函数的极限

「话说回来，现在稍微深入思考一下sinx的泰勒展开式的内涵，再写一次sinx的泰勒展开式。」

「那个……可以写有节奏感的泰勒展开式吗？总觉得想写写看。」

sinx＝＋x/1－/＋/－/＋……

「蒂蒂，这个式子是无穷级数——也就是由无限个项构成的和，从无穷级数中取出有限个的部分和思考看看，在这里将到xk项为止的部分和设做s<k>，当