lt;3>x<平方>＋4a<4>x<立方>＋……

’＝’

「就会变成这样！」抬起头的蒂蒂脸上泛起红潮。

－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……

「嗯，没错，这要求的系数是？」我问。

「是a<2>，就像之前一样代入x＝0。」蒂蒂迅速地写在笔记本上。

－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……由上述所得的式子

－sin＝2a<2>代入x＝0

a<2>＝0用sin0＝0整理式子

「这样就求出a<2>＝0了，我似乎充分地运用最强的武器了，状况越来越好……好的，下一个『微分的规则』是什么？」

「已经不用了。」

「但是这次要－sinx……啊，这可以sinx的微分得到。」

「没错，之后就是反复绕圈。」

「绕圈？」

「将sinx微分就变成cosx，将cosx微分就变成sinx……会变成下面所列的『以4次为周期的循环』，这就是三角函数微分的特征。」我对蒂蒂讲解性质。

※※三角函数微分

微分

sinx→cosx

微分↑↓微分

－cosx←－sinx

微分

「我知道了，接下来求a<2>。」

－sinx＝2a<2>＋6a<3>x＋12a<4>x<平方>＋……刚才得到的式子

’＝’将两边微分

－cosx＝6a<3>＋24a<4>x＋……用『微分的规则』

－cos0＝6a<3>代入x＝0

a<3>＝-1/6用cos0＝1将式子整理

「……好的，求出a<3>＝-1/6了，再来是a<4>……」

「稍等一下，虽然一个一个求下去也是可以，不过试着统整全体看看，没问题吧？」

「咦？……啊！没问题！」

9．3．3sinx的泰勒展开式

我们喝着已经冷掉的咖啡，将笔记本翻到新的一页，我给她口头上的提示，蒂蒂自己在笔记本中写上算式。

「现在我们要做sinx的幂级数展开，刚才已经求出了系数中的a<0>，a<1>，a<2>，a<3>四个数，接着就是要统整，再写一次sinx的幂级数展开吧。」我说。

「好的，是这样吧。」

sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>＋……

「嗯，这样就好，对了，将x写成x<1次方>吧。」

sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>＋……

「两边同时微分，不过现在不要将系数计算出来，以积的形式保留下来，这是关键。」

「咦？学长……不要计算吗？」

「没错，不要计算，让积保留下来比较容易找出『规则性』。来，试试看，要特别注意常数项。」

sinx＝a<0>＋a<1>x<1次方>＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋a<5>x<5次方>……

↓微分

cosx＝1×a<1>＋2×a<2>x<1次方>＋3×a<3>x<平方>＋4×a<4>x<立方>＋5×a<5>x<4次方>……

↓微分

－sinx＝2×1×a<2>＋3×2×a<3>x<1次方>＋4×3×a<4>x<平方>＋5×4×a<5>x&