这种形式表现，必须经过证明，不过现在先暂时不管，而现在的目标是解开无穷数列a<k>＝a<0>，a<1>，a<2>，……会变成什么样的数列，将sinx这个函数分解成a<k>这个数列，这就是函数的幂级数展开……到这里为止明白吗？」

蒂蒂认真地点点头。

「然后a<0>的值在刚才已经被蒂蒂用x＝0找到了，因为＝0，所以下式成立。」

a<0>＝0

蒂蒂看了之后微微点头。很好，继续下去吧。

「你还不知道微分，不过现在没有时间，没办法从微分的定义开始说明，所以就先将微分当成一种计算的规则吧，将微分当成『从函数中做出函数的计算』……虽然也不能算是错误的。」

「『从函数中做出函数的计算』吗？」

「没错，将f这个函数微分的话，会得到另一个函数，而这个函数被称为f的导函数，f的导函数写成f’，虽然也有其它书写方式，不过f’比较常被使用。」

f函数f

↓微分

f’函数f的导函数

「在这里列出一些限制微分的『微分的规则』，假如学过微分的定义，这些规则都可以由定义证明，不过这里就先跳过。」

※※『微分的规则』常数的微分会变成0。

’＝0

『微分的规则』x<n次方>微分会变成nx<n－1次方>。

’＝nx<n－1次方>

『微分的规则』sinx微分会变成cosx。

’＝cosx

「这些『微分的规则』是把apriori做为given吧。」蒂蒂说。

「咦？把apriori做为given？」

「把『微分的规则』当成是一开始给予的工具吧。」蒂蒂改口说。

「……嗯，就是这样，接着将下面两个式子对x微分。」我在笔记本中写上式子。

sinx＝a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋a<4>x<4次方>＋……

’＝’

「微分的结果会像下面的算式，能理解吗，蒂蒂？」

cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……

她反复看了看『微分的规则』与上面的式子。

「嗯……左边是『微分的规则』吧，sinx微分会变成cosx，然后右边将『微分的规则』用在各项。」

「没错，虽然本来应该要先证明可以适用在微分算子的线性与幂级数上。」

「啊，不过为什么a<0>消失了？」

「因为a<0>，是与x无关的常数，所以用『微分的规则』消去，常数的微分会变成0。」

「我懂了，学长，我理解『微分的规则』怎么导出以下的式子了。」

cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……

9．3．2再微分

「那么看看下面的式子，蒂蒂知道a<1>的值吗？假如看y＝cosx的图应该就知道了。」

cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a<立方>x<平方>4a<4>x<立方>＋……

[插图：y＝cosx]

「咦？……啊，难道说和刚才一样吗？将0代入cosx＝……的式子就好了吧？嗯……这样子对吗？」

cosx＝a<1>＋2a<2>×0＋3a<3>×0<平方>＋4a<4>×0<立方>＋……

＝a<1>

「然后从图中得cos0＝1，所以……会变成这个答案吧！」

a<1>＝1

「没错。」我点点头。

蒂蒂的脸上浮现出笑容。

「学长！我看到之后要怎么做了！接下来要把cosx微分吧？」

「没错，就是这样，为此需要’的计算规则，这是cosx用的『微分的规则』。」

※※『微分的规则』cosx微分会变成－sinx。

’＝－sinx

「这样的话，把cosx微分……」

cosx＝a<1>＋2a<2>x＋3a&