;＋……＋r<m>＝n，故取r1，r2，……，r<m>做为全部的总和。」

「这就是『指数之和为n的全部组合』吗，米尔迦？」

「没错。简单地说，Q<m>就是1/各项的和，将p<k>的指数以n表示，让指数之和的全部组合为n，取出1/的和。接下来注意分母，也就是『质数的积』的部分，会变成这样。」

2<r<1>次方>3<r<2>次方>5<r<3>次方>……p<m><r<m>次方>

「从反证法的假设，世界上的质数只有m个，从质因子分解的唯一性可知，全部的正整数2<r<1>次方>3<r<2>次方>5<r<3>次方>……p<m><r<m>次方>有唯一的分解法，也就是说……将Q<m>展开的各项1/的分母中，所有的正整数必然只会出现一次。」

「嗯……这和刚刚的2和3情况一样。」

「分母中『所有的正整数必然会只出现一次』，也就是下式会成立的意思。」

Q<m>＝1/1＋1/2＋1/3＋1/4

「啊！」是调和级数。

「你终于发现了。」

「明明Q<m>是有限，但是总和却会发散。」

「没错，由收敛的无穷等比级数可知Q<m>是有限的。」米尔迎接二连三地说下去。

Q<m>＝∏<k=1到m,1/>

「然而现在Q<m>又等于调和级数Σ<k=1到∞,1/k>。」

Q<m>＝Σ<k=1到∞,1/k>

「也就是会形成下式。」

∏<k=1到m,1/＝Σ<k=1到∞,1/k>

「左边是由反证法的假设得到质数为有限个，右边是从调和级数得到『向正无限大发散』，所以两式矛盾。」

「！」我说不出话来。

「从反证法的假设『质数为有限个』导出的矛盾，因此假设为否，命越为真，表示『质数有无数存在』，QuodEratDemonstrandum……证明终了。」

米尔迦竖起食指发出宣言。

「好，就到此告一段落了。」

调和级数的发散竟然会与证明质数的无限有关连……真让人吃惊，这可是相当贵重的宝物。

「这完美的证明是从被称赞为『他计算起来好像一点也不费力，有如人呼吸空气、老鹰乘风飞翔一样』的老师得来的。」

「我们的老师是……？」

「就是十八世纪最伟大的数学家——莱昂哈德×尤拉啊。」

米尔迦面对着我说。

※※调和级数与质数的无限性质

假设：质数是有限个

↓

『积的形式』←Qm→『和的形式』

↓↓

收敛在有限值→Qm←向正的无限大发散

↓

假设为否

↓

结论：质数是无限个

8．10天文台

星期六。

天文台里有许多情侣与带着小孩的父母，我与蒂蒂在相邻的座位坐下，圆顶的中央摆设了一台形状怪异的黑色投影机。

「和学长一起来天文台让我有点紧张，今天早上我起得非常早喔，嘿嘿。」蒂蒂敲了敲自己的头。

过了一会儿，照明关上了，四周投影出一片黄昏景色，太阳西下，星星一颗一颗地浮现，夜空不久后布满大大小小的光点。

「好漂亮……」

旁边的蒂蒂发出赞叹声，确实相当漂亮。

——那现在开始，就让我们飞向北极点吧。——

解说员声音停止的同时，天幕的所有星辰一齐旋转，让人有种置身在空中的错觉，身体也跟着不由自主地僵硬起来，我们很快就到达了北极点。

「极光！」不知从哪里传来小孩子的叫喊。

细微的光芒不断迭合，形成了一片帘幕；起伏的层次互相交合将我们围在中央，观客们也安静下来，沉浸在光的旋律之中。

与任何世界、任何时间分离，我与蒂蒂两个人到达了北极点；到达了遥远的世界、遥远的时间，我们一起眺望宇宙，眺望着这有限却看似无限的星空。

就在这时……

我的心脏「扑通」一跳。

我的右腕感受到蒂蒂的重量。

她抱住我的手肘、将身体靠在我的身上，从她身上传来的香味变得更浓了。

蒂蒂……

解说员讲解从北极点可以看见哪些星