……

＝Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,1/>>『和的形式』

「Q<2>可以用以上两个方法求出，也就是说下面的等式成立。」米尔迦说。

)×)＝Σ<n=0到∞,Σ<k=0到n,1/>>

「左边是积，右边是和啊。」我说。

8．9．3质因数分解的唯一性

「那么在这里假设『世界上只有2和3两个质数』，然后所有的正整数就一定只会在的分母2<k次方>3<n－k次方>出现一次。」

「咦？米尔迦，2<k次方>3<n－k次方>并不能表现全部的正整数吧？就算加上1，也只会有包含2或3这两个质因数的正整数而已，像是5或7或10之类的都不会出现。」我说。

「所以才假设『世界上只有2和3两个质数』，假如世界上只有2和3这两个质数，就不会有5或7或10之类的整数了，还不懂我在说什么吗？」她回答。

「你说的是质因子分解的唯一性吧，『比1大的所有整数都可以用唯一的质数积表示』。所以你想说『世界上只有2和3两个质数的话，就不会有5或7的整数』？不过『世界上只有两个质数』的话题还是到此停止吧。总觉得不会有什么结果。」

「我知道了，你这么说的话就算了，不接受质数只有2个的原因是质数根本不可能只有2个，那假设世界上的质数只有m个。」米尔迦说。

「这……所以就说不行了，不管是2个还是m个都一样，这样假设的话。质数就会变成有限个了。」米尔迦到底想要说什么？

「就是假设『质数是有限个』啊，你还没发现吗？」

看着米尔迦的表情，我突然想到了。

「反证法……吗？」

8．9．4质数无限的证明

反证法——基本的证明方法之一，总而言之就是『否定想要证明的命题，将其导致矛盾』。不过，对否定想证明的命题这种难以处理法感到棘手的人也相当多。

※※反证法

假设：否定想证明的命题

↓

矛盾

↓

假设为否

↓

结论：则命题为真

「从现在开始就要使用反证法证明质数有无数存在。」

她仿佛手术前的外科医师般将两手展开宣言。

「米尔迦，说到证明质数无限，要用欧几里德的方法吧？假设质数为有限个，将全部的质数相乘再加1还会是质数……」

我说到一半的时候，米尔迦将手指伸到我的面前摇晃，要我别再说下去。

「假设质数为有限个。」米尔迦干脆地继续说下去。

「假设质数的个数有m个，则全部的质数依照由小到大的顺序可以大小成……

p<1>，p<2>，……，p<3>，……，p<m>

最初的3个是p<1>＝2、p<2>＝3、p<3>＝5喔，在这里思考下面的无限和Q<m>的有限积。」

Q<m>＝×……

＝∏<k=1到m,1/p<k><0次方>＋1/p<k><1次方>＋1/p<k><平方>＋……>『积的形式』

＝∏<k=1到m,1/>

「简单地说，就是将刚才的Q<2>中的两个质数变成m个，然后因为是m个有限的数值相乘，所以也是有限的。」

我看着式子思考。

「嗯……啊，原来如此，没错，由于质数p<k>是2以上，所以等比级数1/p<k><0次方>＋1/p<k><1次方>＋1/p<k><平方>＋……会收敛在1/，也就是会成为有限的数值。」

「没错，所以从现在开始会变得更有趣。」

说完话的米尔迦伸出细舌慢慢地舔着上唇。

「将刚才对2与3做的事情同样地移到对m个质数上，也就是在有限的前提下具体地展开算式，用你的表现方式来说，这次不是两个质数『平分』，而是m个质数『平分』。」

Q<m>＝×……

＝)＋＋……＋)＋……——以指数和分类

＝Σ<k=0到∞,Σ<,1/>>『和的形式』

「会变成这样的式子。」米尔迦说。

「这、这个……最后的式子我不太懂，特别是内侧的Σ什么都没有写。」

「虽然什么都没有写，不过内侧的Σ满足r<1>＋r<2>