lt;k=1到n,1/2<k次方>>＜1

「也就是说无论＝中的n有多大，结果都不会在1以上。无论加了多少，由于去会极度地接近0，所以和没办法累加到1以上，虽然当M＜1时n会存在，但M≥1的话n就不存在了，所以用ak＝为反例，问题8－2的答案会是这样。」

※※解答8－2

令实数集合为R，正整数集合为N，且<ForAll>k∈Na<k>＞0，下式并非必然成立。

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,a<k>>

「原来如此，当n变大的时候，会有部分和不断增大与并非如此的两种状况……不过，学长也会计算错误啊。」

「当然也会有算错的时候，虽然对刚才的证明没什么影响……」

就在这一瞬间，蒂蒂学着我的口吻说：

「不过还是要好好地确认过……对吧，学长？」

经过瞬间的沉默，我们看着彼此笑了出来。

8．6于教室演练调和数

在放学后的教室，我叫住不发一语、准备回去的米尔迦。

「米尔迦，之前发呆没好好听你说话是我不对。那个……关于昨天的事，我对ζ函数其实不太清楚，就是关于ζ是向正无限大发散的话题……」

「嗯……」

看来是很难对话了。

不过最后米尔迦终于拿起粉笔，开始在黑板上写下：

「这是黎曼函数ζ的定义，黎曼的ZETA函数。」

ζ＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>

米尔迦继续写下去。

「ζ被以无穷级数的型式定义，这里的s＝1就是调和级数，用的是HarmonicSeries第一个字母H，写做H<∞>。」

H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>

「也就是说，黎曼函数中s＝1的式子就等于调和级数？」

「是这样啊……那我和蒂……我想到的无穷级数与ζ就是一样的。」

村木老师出给我和米尔迦的是相同的问题吗？原来H是Harmonic的第一个字母。

无视我说的话，米尔迦继续说下去。

「下面的部分和Hn称为调和数。」

H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>

「也就是当n→∞，调和数H<n>→调和级数H<∞>。」

教室里回荡着米尔迦用粉笔写黑板的声音。

H<∞>＝lim<n→∞,H<n>>

「因为调和数H<n>是n→∞，所以向正无限大发散。」

lim<n→∞,H<n>>＝∞

「因此调和级数也是向正无限大发散。」

H<∞>＝∞

「也就是说ζ是向正无限大发散。」

ζ＝∞

「为什么能说『调和级数是向正无限大发散』……」

到这里米尔迦终于向我笑了一下，她已经回复到平常的模式了。

我在呆然的状态下向她说明我写给蒂蒂的式子，是以m为0以上的整数，利用H<2<m次方>>≥1＋m/2成立的证明。

「没错，你的证明和14世纪奥雷姆用的是相同的方法。」米尔迦说到。

※※黎曼函数、调和极数、调和数

ζ＝Σ<k=1到∞,1/k<s次方>>

＝H<∞>＝Σ<k=1到∞,1/k>

＝H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>

米尔迦这时闭上眼睛，仿佛指挥般用手指划了一个L型，然后张开眼说：

「你还记得在离散的世界找出指数函数的事吗？」

「嗯，还记得。」印象中是做出差分方程式解开问题的。

「那么这个问题如何？在离散的世界中试着找出『指数函数的反函数』……也就是对数函数。」

※※问题8－3

对应连续世界的对数函数㏒<以e为底，x>，定义离散世界的函数L

连续世界←→离散世界

㏒<以e为底，x>←→L＝？

「那我要回去了，你慢慢想吧。」

米尔迦上将手上的粉笔灰弄掉之后走向教室门口，接着她回头对我说：

「先告诉你一件事。你的缺点就是不画图，数学可不是只有式而已。」

8．7两个世界，四种演算

夜晚。

我在自己的房间里打开笔记本，思考着米尔迦的问题8－3。