是在离散的世界中，找出对应对数函数㏒<以e为底，x>的函数问题。

以前调查指数函数的时候，解决了将De<x次方>＝e<x次方>与ΔE＝E互相对应的问题，成功地将微分方程式与差分方程式彼此对应。

这次就从对应对数函数的微分方程式开始吧。

我曾在书上看过对数函数㏒<以e为底，x>的微分。

f＝㏒<以e为底，x>

↓微分

f’＝1/x

将『微分之后变成1/x』这个性质，当成是满足对数函数的微分方程式思考，由于1/x也可以写作x<－1次方>，所以可以用『微分之后变成x<－1次方>』表现，用米尔迦以前用过的微分算子D来写的话，就变成下列式子。

D㏒<以e为底，x>＝x<－1次方>满足对数函数的微分方程式。

以此类推，在离散世界对应㏒<以e为底，x>的函数L会满足下面的差分方程式，并将平常的－1次方取代为递降阶乘的－1次方。

ΔL＝x<－1次递降阶乘>满足函数L的差分方程式

不过之前和米尔迦讨论的时候，只考虑到递降阶乘x<n次递降阶乘>中n＞0的状况而已。

※※递降阶乘的定义

x<n次递降阶乘>＝……)

这样的话，必须适当地考虑在n≤0的状况要如何定义x<n次递降阶乘>。

n＝4，3，2，1的时候，x<n次递降阶乘>会如同下面的式子。

x<4次递降阶乘>＝

x<3次递降阶乘>＝

x<2次递降阶乘>＝

x<1次递降阶乘>＝

仔细观察的话，可以知道以下性质。

×x<4次递降阶乘>除以的话会得到x<3次递降阶乘>。

×x<3次递降阶乘>除以的话会得到x<2次递降阶乘>。

×x<2次递降阶乘>除以的话会得到x<1次递降阶乘>。

将这性质自然延伸的话，会变成下面的规则。

×x<1次递降阶乘>除以的话会得到x<0次递降阶乘>。

×x<0次递降阶乘>除以的话会得到x<－1次递降阶乘>。

×x<－1次递降阶乘>除以的话会得到x<－2次递降阶乘>。

×x<－2次递降阶乘>除以的话会得到x<－3次递降阶乘>。

然后会变成下面的式子。

x<0次递降阶乘>＝1

x<－1次递降阶乘>＝1/

x<－2次递降阶乘>＝1/)

x<－3次递降阶乘>＝1/)

※※递降阶乘的定义

x<n次递降阶乘>＝……)n＞0时

x<n次递降阶乘>＝1n＝0时

x<n次递降阶乘>＝1/……)n＜0时

接着回到对数函数吧，目标是解出下面的差分方程式。

ΔL＝x<－1次递降阶乘>

左边以Δ的定义变成L－L。

右边以x－1的定义变成1/，所以差分方程式会变成下面的式子。

L－L＝1/L的差分方程式

要是能从这里求出L就好了……咦？

咦？

L－L＝1/不是和蒂蒂之前讲到的式子相同吗？嗯……是这个。

H<n＋1>－H<n>＝1/调和数H<n>的递推公式

L的差分方程式和调和数H<n>的递推公式居然完全一样！既然这样，就定义L＝1吧，可以得到下面这种简洁的关系式。

L＝Σ<k=1到x,1/k>

使用调和数的标记法H<n>，就会变成下面的模式。

L＝H<x>x为正整数

这样就解决问题8－3了。

解答8－3

L＝Σ<k=1到x,1/k>

＝H<x>

然后可以做出下面这样的对应关系。

※※对数函数与调和数的关系

连续世界←→离散世界

㏒<以e为底，x>←→H<x>＝Σ<k=1到x,1/k>