开始好好地看，定义M的时候，是为了让某一个n使得M＜Σ<k=1到n,1/k>成立。」

「好的，我懂了，无论对多大的M，只要m够大的话就能像……

M＜1＋m/2

一样找到m，这里只要将m设为2M以上的整数，找到m之后，就令n＝2<m次方>，也就是用m做出n，而这个n就是我们要求的n吧？」

M＜1＋m/2≤H<2<m次方>>＝H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>

「没错，所以昨天的问题8－1的解答就是……」

※※解答8－1

令实数集合为R，正整数集合为N，则下式成立。

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,1/k>

「原来是这样，不等式真方便，虽然不能求出正确的值，却可以从小的地方向上推……」蒂蒂一边说一边做出排球托球的姿势。

「这样就找到一样宝物了，Σ<k=1到n,1/k>会一直变大下去。」

「学长，真不可思议，用1＋m/2这个会变大的数，就可以将H<2<m次方>>推上去，而为了要推挤则用上了不等式，到这里还好……明明越变越小的数1/k，相加成Σ<k=1到n,1/k>竟然可以一直变大下去，真的很不可思议。」蒂蒂不断地点头。

「嗯，那就试试看将『一直变大下去』这种说法用算式表现，在这里为了简化，就限定数列里全部的项比0大。」我边说边在笔记本上书写。

「对部分和Σ<k=1到n,a<k>>有一任意项都比0大的数列a<k>＞0使得……

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,a<k>>

成立时，因为n→∞，所以称Σ<k=1到n,a<k>>为向正无限大发散，这是定义，然后以……

Σ<k=1到∞,a<k>>＝∞

表现出来，a<k>＝1/k的状况就是问题8－1，因为现在定义了『向正无限大发散』，所以可以得到下面的结论。」

『无穷级数Σ<k=1到∞,1/k>是向正无限大发散。』

蒂蒂一直盯着我的笔记本，认真地思考。

「无论是什么正数，只要一直加上去，就会不断地变大下去啊……果然这就是无限……」

「咦？你刚刚说了奇怪的话喔，那这个问题如何？」

※※问题8－2

令实数集合为R，正整数集合为N，且<ForAll>k∈Na<k>＞0，下式是否必然成立？

<ForAll>M∈Rヨn∈NM＜Σ<k=1到n,a<k>>

「我觉得问题8－2会成立。因为……将a<k>这个正数一直不断地累加下去的话……也就是n变大……和也会跟着变大。所以，总会加到Σ<k=1到n,a<k>>比M大的时候。」

「嗯，虽然我了解你的想法，不过蒂蒂，虽然这么说有点奇怪，可是你对无限大有过大的评价喔。」

「咦？有不管正数再怎么加，也不会比M还大的状况吗？」

当然。举例来说，假如数列a<k>的一般项是以下的式子的话会如何？」

a<k>＝1/2<k次方>

「咦？」

「在这个状况里，对全部的正整数k，a<k>＞0会成立，但是Σ<k=1到n,a<k>>却不会无止尽地变大，因为……」

Σ<k=1到n,a<k>>＝Σ<k=1到n,1/2<k次方>>

这里就按照an的定义，将Σ具体地写出来。

＝1/2<1次方>＋1/2<平方>＋……＋1/2<n次方>

接下来为了方便计算，加入1/2<0次方>之后再减掉。

＝－1/2<0次方>

这样就能用等比数列的求和公式了。

＝/－1

除去分子－1/2<n＋1次方>的这一项，就可以做出不等式。

＜1/－1

之后就是计算。

＝2

「那个……不好意思……最后的计算1/－1的结果不是2吧？」

「咦？……啊，真的，最后的计算结果应该是1，结论是下面会成立。」

Σ&