」

「像这样判断是否会成立的数学主张称为命题，命题可以用国语或英语，甚至是算式来写……那，下面的命题会成立吗？」

对所有的正整数n，当n变大时，H<n>必然变大。

「这个……是的，没错，n变大就代表会有更多的数相加。」

「是的，正数相加就会变大，『当n变大时，H<n>必然变大』这个命题，也可以用算式写成下面的式子，这种方式会比较严密。」

对所有的正整数n，H<n>＜H<n＋1>。

「确实，这个……命题会成立，不过……比起『当n变大时，H<n>必然变大』，『H<n>＜H<n＋1>』会比较严密啊……嗯……」

我静静地等待蒂蒂的思考。

「啊，我知道了。『变大』这个动作和使用不等号的『大于』在叙述的表现上是不同的吧，就像英语的一般动词和be动词一样？」

「咦……？」

蒂蒂的话带给我一些冲击，『变大』和『大』的差别？一般动词和be动词？……原来如此，或许是这样吧，之前村木老师好像有稍微提过，追寻数列变化形态的观点与捕捉数列各项关系式的观点……是『过程的定义与叙述的定义』的话题……

「学长……怎么了吗？」

「不，你说了以后我才想到也有这种看法，不过我只是要表达『比起一般生活用语，用算式表达会比较严密』而已，话说回来，蒂蒂你到底是……？」

「什么？」蒂蒂歪着头，眼睛骨碌碌地转着。

「没事……继续往前进吧，下一个命题会成立吗？」

对所有的正整数n，H<n＋1>－H<n>＝1/n。

「会成立，因为H<n>是以分数的和来定义的，所以用减法会出现分数也是当然的。」

「很可惜答错了，H<n＋1>－H<n>＝1/n不会成立，右边的分母是错的，要像下面的式子，分母不是n而是n＋1才会成立。」

对所有的正整数n，H<n＋1>－H<n>＝1/。

「咦～～啊？原来如此，学长，出陷阱题太过分了。」蒂蒂开始对我抱怨。

「抱歉抱歉，不过还是要好好地确认过才行。」

「是这么说没错……」她不满地嘟起嘴。

「那么H<n＋1>－H<n>到底会变成怎么样呢？能使用H<n>的定义式计算吗？你动笔试试看。」

「好的，嗯……」

H<n＋1>－H<n>＝Σ<k=1到n＋1,1/k>－Σ<k=1到n,1/k>

这是Hn的定义式，再来把Σ具体地写出来。

＝＋＋…＋＋)－＋＋…＋

好，完成了。然后……嗯……把项的顺序改变。

＝－)＋－)＋…＋－)＋)

这样就可以了吧，学长？

＝1/

「好，做得很好，那这次由蒂蒂命题看看。」

「嗯……那因为出现了H<n＋1>－H<n>……所以这个命题可以吗？」

对所有的正整数n，当n增大时，H<n＋1>－H<n>会变小。

「没错没错，很好，算式的话要怎么写呢？」

「这样吗？」

对所有的正整数n，H<n＋1>－H<n>＞H<n＋2>－H<n＋1>。

「就是这样，非常好！」

「加上去的数，像1/2，1/3，1/4，……这种『变小』的感觉就用『小』的算式表现。」

8．2．4全部的……

「蒂蒂，像这样把一切都用算式表示是很重要的，就算是一些理所当然的事也不要紧，尽量写写看，这是一个练习使用数学语言的方法。」

「好，我想起学长之前曾经对我说过『玩数学就像在捏黏土』，我捏我捏……」蒂蒂一边说一边做出捏黏土的动作。「啊，不过『对所有的正整数n』……这个不算是式子吧。」

「嗯，要说明正整数N的集合，就用这个算式。」

n∈NH<n＋1>－H<n>＞H<n＋2>－H<n＋1>

「这个算式要怎么念啊？」

「<ForAll>n∈N……就念成『ForallninN……』，用说的就是『对所有正整数n』……或是『对任意整数n』吧，<ForAll>是All的A倒过来写。

「这个好像跟一般的N不太一样？」

「是的，写N的话会被