……」

「这个是无穷级数，也可以说只是级数。」

Σ<k=1到∞,1/k>

「这是部分和。」

lim<n→∞,Σ<k=1到n,1/k>>

「如何，了解差别了吗？」

「嗯，∞和n是不一样的……不过，因为n是变量，所以和∞不是一样的吗？」

「不对，完全不一样，确实n代表变量，不过是表示有限的数，而∞不是数，所以不能用n代入，就是因为n是有限的数，所以Σ<k=到n,>上才会是有限个项相加，也就是一定能得到计算结果，但是像这样Σ<k=到∞,>无限个项相加，就不一定会得到计算结果。如果是刚刚有稍微提过的『无止境地变大』或『有时变大有时变小』的状况，目标地点就会不固定，而不固定的值就不能以数看待，另外，若目标地点不固定，则称这个极限发散。当讨论无限个项时，这是一个要非常注意的地方。」

「好的……我已经知道要注意无限了，也知道了发散……所以跟无限有关的话，就算解出算式也不一定是固定的值啊……」

「再来是标记上要注意的地方。下面两个式子都会用到这个删节号『……』，标记无穷级数用是还是呢？」

＋＋…………＋

＋＋……

「表示无穷级数的……应该是吧。」

「没错，的＋＋……＋的『……』并不是表示无穷级数，只是因为写不下所以不写，在这里的项是有限的，而值是固定的并不恐怖，但是的＋＋……的『……』表现的就是无穷级数，这里面藏着lim，如同在说『或许值会不固定』，有限的『……』和无穷级数的『……』意思完全不一样，所以需要特别注意。」

「看起来一样的『……』，有着不一样的意思呢。」

8．2．2从理所当然的地方开始

「喔，又谈到无限的话题了，在开始计算无穷级数前必须先习惯无限个项的和才行。为了要习惯Σ。就先将n为1，2，3，4，5的式子具体地列出来。」

Σ<k=1到1,1/k>＝1/1

Σ<k=1到2,1/k>＝＋

Σ<k=1到3,1/k>＝＋＋

Σ<k=1到4,1/k>＝＋＋＋

Σ<k=1到5,1/k>＝＋＋＋＋

「那现在开始计算部分和吧，首先要注意Σ<k=1到n,1/k>的值是『由n决定』的。所以即使写做H<n>也是可以的，这是H<n>的定义式。」

H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>

「不、不好意思请稍等一下，『由n决定』这边我不太懂。」

「嗯，像这样会将自己不懂的地方提出来正是蒂蒂的优点，不管是5或是1000，只要n的值是具体固定的，Σ<k=1到n,1/k>这个式子的值就是固定的，这就是『由n决定』的意思，所以可以写出以n为标记的H<n>。这样的话，H<5>就和H<1000>一样，只是命名上的问题。」

「为什么用H呢？」

「因为卡片上写作H<∞>，所以部分和就用H<n>。」

「啊，原来如此，话说回来……写为H<n>，虽然n留下来了，但是k为什么却消失了？」

「因为Σ<k=1到n,1/k>中的k是只在Σ中使用的变量，不会用在其它的地方，像k这种变量称为约束变数，意思就是在Σ中被约束的变量，也不一定非使用k不可，可以填入自己喜欢的文字，像i，j，k，l，m，n这些都常常使用。啊，不过由于i是表示<根号>的虚数单位，所以会造成混乱的时候就不要用，另外平常会用n当约束变量，但是这里不行，因为n已经有其它的意思了，把Σ<k=1到n,1/k>写成Σ<k=1到n,1/n>的话，意思就会变得很奇怪。」

「好的，我知道了。不好意思打断学长的说明。」

「不，没关系。不知道的地方还是问清楚比较容易进行下去。」

我们相视而笑。

8．2．3命题

「那来列举与H<n>＝Σ<k=1到n,1/k>有关的部分，因为『举例是理解的试金石』，下面的叙述正确吗？」

n＝1的话，H<n>＝1。

「是正确的。因为H<1>＝1，这是当然的……啊，原来如此，『从理所当然的地方开始』，对吧？」

「没错，你记住了，那下面的叙述成立吗？」

对所有的正整数n，H<n>＞0。

「会成立。