么处理<根号1－4x>呢？」我抱怨着。

「也只能展开幂级数了，假设将系数的数列设做K<n>，就可以像这样展开。」米尔迦写出式子。

＝K<0>＋K<1>x＋K<2>x<立方>＋……＋K<n>x<n次方>＋……

＝Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>

「然后生成函数C是这个式子。

C＝/2x

所以将分母移项，变成下面的式子。

2x×C＝1－<根号1－4x>

在这里置入C＝Σ<k=0到∞,C<k>x<k次方>>及<根号1－4x>＝Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>，就会变成……

2x×Σ<k=0到∞,C<k>x<k次方>>＝1－Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>

将左边2x移到里面，右边的k＝0移项到外面。

Σ<k=0到∞,2C<k>x<k＋1次方>>＝1－K<0>－Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>

将左边调整成从k＝1开始。

Σ<k=1到∞,2C<k－1>x<k次方>>＝1－K<0>－Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>

将∑往左边集中。

Σ<k=1到∞,2C<k－1>x<k次方>>＋Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>＝1－K<0>

这样就整理好∑了，由于是无穷级数，所以要改变和的顺序必须清楚说明条件，不过现在为了先找到式子就先省略。

Σ<k=1到∞,x<k次方>>＝1－K<0>

由于上式是对x的恒等式，所以将两边的系数比较之后，就可以得到Kn与Cn的关系式。

0＝1－K<0>比较x<0次方>的系数

2C<0>＋K<1>＝0比较x<1次方>的系数

2C<1>＋K<2>＝0比较x2的系数

2C<n>＋K<n＋1>＝0比较xn的系数

将其整理之后得到

K<0>＝1

C<n>＝-K<n＋1>/2

也就是K<n>的话也会自动得到C<n>，而最后的关卡则是<根号1－4x>的展开了。

7．5．5陷落

米尔迦似乎等不及地说出：

「那么就来攻陷最后的关卡吧，现在令K＝<根号1－4x>，然后目标是求……

K＝Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>

的，从哪里开始好呢？」

「从最容易的地方开始吧。」我说。

「喔，那你知道要怎么做吗？」

「试试看x＝0吧。」我马上回答：「这样的话，Σ<k=0到∞,K<k>x<k次方>>除了常数项以外都会消掉，也就是会变成这样。」

K＝K<0>

「没错，然后呢？」米尔迦问。

「是问x要怎么设吗？」我反问。

「不是，是要你赶快用解析函数的基本技术。」米尔迦有点不悦地回答。

「什么？」

「微分。把K用x微分的话，数列就会变换，常数项会变成K1。

K＝K0＋K1x<1次方>＋K2x2＋K3x3＋……＋Knxn＋……

↓↓↓↓

K’＝1K<1>＋2K<2>x<1次方>＋3K<3>x<平方>＋……＋nK<n>x<n－1次方>＋……

所以……

K’＝1K<1>

知道为什么要明白写出1了吧？因为微分会让指数下降，这是为了区别它的规律，到这里就轻松了，将K’再微分会得到下列式子。

K’’＝2×1K<2&