;＝5!/!)

＝5!/

＝/

＝/

＝()<5,3>

看，是一样的。

组合若是用递降阶乘表现会更清楚。所谓的递降阶乘写作x<n次递降阶乘>，是从第n阶的阶梯不断下降的积喔，也就是说像这样。

<n次递降阶乘>＝……)——共n个因式

普通阶乘n！的递降阶乘写成……

n!＝n<n次递降阶乘>

使用递降阶乘，就可以将()<n,k>表现得更漂亮。

()<n,k>＝n<k次递降阶乘>/k<k次递降阶乘>

※※从n个中选k个出来组合的个数

<组合,n,k>＝()<n,k>

＝n!/!)

＝…))/…))

＝n<k次递降阶乘>/k<k次递降阶乘>

「呃、这个……」

抱歉，稍微离题了，回到主题吧，已经得到n的展开式了，为了将规则性表现出来会写得稍微冗长一点。

n＝

＋

＋……

＋

＋……

＋

＝()<n,0>x<n－0次方>y<0次方>

＋()<n,1>x<n－1次方>y<1次方>

＋……

＋()<n,k>x<n－k次方>y<k次方>

＋……

＋()<n,n>x<n－n次方>y<n次方>

注意每一项变化的部分，用Σ来表现就会得到下列的式子，这是二项式定理。

※※解答7－2

<n次方>的展开

<n次方>＝Σ<k=0到n,()<n,k>x<n－k次方>y<k次方>>

一开始就算知道这个展开还是不容易记忆，不过有自己动手导出公式的经验就不会太难记了，不断练习让自己导出公式的话，就会在不知不觉中记住，之后就不需要再慢慢导了……虽然这是反过来的说法，不过也颇有趣的。

「学长……出现了Σ，似乎突然变得很难了……」

假如不安的话，也可以将Σ表示的项具体地写出来，k＝0的时候、k＝1的时候、k＝2的时候，在习惯之前这很重要。

「啊……不过没想到会在这里用到组合，读机率的时候，练习选红球和白球的问题时，计算中有一堆乘法让我印象深刻，演算变得像在练习约分一样，不过没想到在算式展开当中会以这种方式用到组合。」

接下来就是验算了，思考具体的例子，广义化后，在完成前一定要验算，在这里不能偷懒，用n＝1，2，3，4确认。

<1次方>＝Σ<k=0到1,()<1,k>x<n－k次方>y<k次方>>

＝<1,1>x<0次方>y<1次方>

＝x＋y

<平方>＝Σ<k=0到2,()<2,k>x<n－k次方>y<k次方>>

＝<2,1>x<1次方>y<1次方>＋()<2,2>x<0次方>y<平方>

＝x<平方>＋2xy＋y<平方>

<立方>＝Σ<k=0到3,()<3,k>x<n－k次方>y<k次方>>

＝<3,1>x<平方>y<1次方>＋<3,3>x<0次方>y<立方>

＝x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>

<4次方>＝Σ<k=0到4,()<4,k>x<n－k次方>y<k次方>>

＝<4,1>x<立方>y<1次方>＋<4,3>x<1次方>y<立方>＋()<4,4>x<0次方>y<4次方>

＝x<4次方>＋4x