<立方>y＋6x<平方>y<平方>＋4xy<立方>＋y<4次方>

蒂蒂将式子一个个确认之后点点头说：「虽然公式里出现一堆文字会让人觉得『啊，好烦』，不过一想到这是广义化的结果，就觉得可以接受，会有一堆文字也是没办法的事。」

嗯，为了取代无限个具体的公式，而用了n这个变量替代，这就是广义化的公式。在各项的部分也用了k这个变数来广义化。

「是的，不过……n－k和k交错在一起，要分辨也很麻烦。」

不要将n－k和k分开思考，而是要想『和就是n』，然后在这个和中从0到n间取平衡，一开始x的指数是n最大，这时y的指数是0最小，然后x的指数每减1，y的指数就加1，最后x的指数变成最小的0，y的指数是最大的n，要像这样思考，而k就是中间平衡的位置。

k＝0xxxxxx｜

k＝1xxxxx｜y

k＝2xxxx｜yy

k＝3xxx｜yyy

k＝4xx｜yyyy

k＝5x｜yyyyy

k＝6｜yyyyyy

「啊……从x到y慢慢地移动。」

没错，将全部n次方分配到x与y上，就像『平分』围巾一样。

「学、学长！你还记得这个话题啊……」

7．4于自家中解生成函数的积

夜深了，家人也都睡了，我独自在房间静下来思考。C<n>的递推公式已经完成了。

C<0>＝1

C<n＋1>＝C<k>C<n－k>

而我接下来想尝试一样东西，那就是生成函数的解法。

米尔迦和我曾寻找过斐波那契数列的一般项，那时候她将数列与生成函数做了对应，我们在两个国度——『数列之国』与『生成函数之国』中环绕。

我打开笔记本，一边搜寻记忆一边开始写下。

当得到数列a<0>，a<1>，a<2>，……，a<n>……之后，就将数列各项的系数以a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……＋a<n>x<n次方>＋……形式的幂级数来表现，这就是生成函数，然后以下面的对应关系，将数列与生成函数视为一样的东西……

数列←→生成函数

a<0>，a<1>，a<2>，……，a<n>……←→a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋……＋a<n>x<n次方>＋……

如此对应的话，就可以将无穷的数列以一个生成函数呈现，而且若是将生成函数以闭公式表现，就会得到数列一般项的闭公式这个令人赞叹的结果。

我和米尔迦使用生成函数求得斐波那契数列的一般项，就像原本捧在手上快要散落的数列，被名为生成函数的一条线串了起来，那真是一次难以言喻的经验。

我想用这种解法来解开这次的问题。

※※

数列C<n>→生成函数C

↓

数列C<n>的闭公式←生成函数C的闭公式

由n个加号构成的式子设成C<n>，则得数列C<0>，C<1>，C<2>，……，C<n>……。

再将此数列之生成函数设为C，x是为了不让数列混乱的形式上变数，x<n次方>的指数n会与C<n>的n对应，则C会如下所示。

C＝C<0>＋C<1>x＋C<2>x<平方>＋……＋C<n>x<n次方>＋……

以上是生成函数的定义，到这里为止还不需要动脑筋，没错，要到生成函数的国度是很简单的。

要动脑的部分从现在才开始。

现在我手上拥有的武器只有C<n>的递推公式而已，下一步是要用递推公式求C的闭公式，我想求出C的『对x的闭公式』，而这个式子应该不会出现n。

不过，这次的递推公式不像斐波那契数列那时候一样单纯，那时候确实是在生成函数中乘上x，然后不断地『移动』系数，最后相加相减才将n消掉。

但是这次的递推公式C<n＋1>＝Σ<k=0到n,C<k>C<n－k>>相当麻烦，是在C<k>C<n－k>这个积上再加入了Σ，形成繁琐的『