方>＝x<平方>＋2xy＋y<平方>

<立方>＝x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>

<4次方>＝x<4次方>＋4x<立方>y＋6x<平方>y<平方>＋4xy<立方>＋y<4次方>

然后进入广义化的过程，现在开始要求的就像下面这个式子。

<n次方>＝x<n次方>＋……＋y<n次方>

已经知道会出现x<n次方>项和y<n次方>项，之后只要把x<n次方>＋……＋y<n次方>的……部分填起来就好。

「……对不起，我记不住。」蒂蒂说。

不对，不是要记起来，而是要思考、思考。

再来思考下面这式子吧。

<1次方>＝

<平方>＝

<立方>＝

<4次方>＝

<n次方>＝……

n个

「这我就懂了，就是把乘n次。」

是啊，所以当n个互乘的时候，就是从每一个中选出x或是y来乘，譬如说三次方，就是从三个中各自选出1个x或y，思考全部的选择方式，将选择的部分以<>作记号。

→xxx＝x<立方>

→xxy＝x<平方>y

→xyx＝x<平方>y

→xyy＝xy<平方>

→yxx＝x<平方>y

→yxy＝xy<平方>

→yyx＝xy<平方>

→yyy＝y<立方>

这样就全部列出来了，然后将这些全部相加

xxx＋xxy＋xyx＋xyy＋yxx＋yxy＋yyx＋yyy＝x<立方>＋x<平方>y＋x<平方>y＋xy<平方>＋x<平方>y＋xy<平方>＋xy<平方>＋y<立方>

就变成

x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>

这就是我们要求的式子，从展开的「和的积」，变成x<立方>＋3x<平方>y＋3xy<平方>＋y<立方>这种「积的和」；反过来说将「积的和」变成「和的积」就是因式分解。

「原来如此，我终于懂了……总觉得xxx，xxy，xyx，……，yyy这些的排列方式好像有规则性。」

嗯，很敏锐喔，蒂蒂。

「嘿嘿。」她害羞地伸了伸舌头。

那继续吧，要从中选出x或y其中之一，那么『全部选择x的选法』会有几个呢？

「嗯，一定要选x的话……就只有1个。」

没错，那么『x有n－1个，y有1个的选法』呢？

「嗯，最右边选y，其它选x，右边数来第二个选y……这样的话会有n个。」

答对了，正确答案，那接下来是广义化啰，『x有n－k个，y有k个的选法』有几个？

「呃，嗯，n是的个数的话，那k是什么？」

这是很好的问题，k是为了要广义化而导入的变量，表示选择y的个数，k为整数，并满足0≤k≤n的条件，刚才我们讨论的是k＝0和k＝1的情形。

「所以这就是从n个里面选出k个的情形，因为选择的顺序已经决定好了，所以是组合……吧。」

对，组合，用y选择k个，x选择n－k个的情形来作组合的话，就会如下式。

…))/…))

这就是x<n－k次方>y<k次方>的系数。

「学长，我有问题。」蒂蒂举起右手，「『()<n,k>』是什么呢？组合的话是<组合,n,k>吧，假如是这个的话我还懂……」

「是的，<n,k>。另外，矩阵和向量的写法也很类似()<n,k>，不过和组合没有关系。」

「好，我知道了，还有一个问题，组合我记得是……

<组合,n,k>＝n!/!)

这和学长的式子不太一样。」

不，假如将!的部分约分之后就会发现其实是一样的、譬如说，从5个里面选出3个……

<组合,5,3>