>所得到的函数仍然是e<x次方>，不过本来就是为此定义出定数e的，会有这种结果也是理所当然。

利用『即使微分仍然不会改变』这个性质，在使用微分算子D后，可以用下面这个微分方程式表现。

De<x次方>＝e<x次方>

到这里为止是关于连续世界的指数函数。

现在开始要进入离散世界，将接下来要求的离散世界的指数函数称为E，于是就会希望让E具有『即使差分仍然不会改变』的性质，这个性质在使用差分算子Δ后，可以用下面式子表现，这次是差分方程式。

ΔE＝E

以差分算子Δ的定义将左边展开。

E－E＝E

整理之后得到递推公式。

E＝2×E

此递推公式对0以上的整数x会成立，这是函数E的性质。当括号中减少1，就会对应乘2，这样就能简单地解开这个递推公式。

E＝2×E

＝2×2×E代入E＝2×E

＝2×2×2×E代入E＝2×E

＝2×2×2×2×E代入E＝2×E

＝……

＝2x＋1×E

最后得到这个式子。

E＝2x＋1×E

E的性质要怎么定义呢？由于e<0次方>＝1，所以定义成E＝1是很妥当的，由上式可得对应指数函数e<x次方>的函数E定义如下。

E＝2x

所以就能做出以下的对应关系。

※※解答6－3

连续世界离散世界

e<x次方>2<x次方>

离散世界的指数函数是2的乘幂，不觉得对应地非常恰当吗？

6．4面往返于两个世界的旅程

在思考『微分差分』之后，这次换『积分和分』吧，这里只写出结果。

（JoyJ：以下部分很怪异，凭我的知识水平无法理解，因此基本照原样打出来，请海涵。即，此节内容与文本开头处的“TXT格式说明”不对应）

∫1＝x←→∑1＝x

∫t＝x<平方>/2←→∑t=/2

∫t<平方>＝x<立方>/3←→∑t<2次递降阶乘>=/3

.

∫t<n－1次方>＝x<n次方>/n←→∑t<n－1次递降阶乘>=/n

∫t<n次方>＝x<n＋1次方>/n＋1←→∑t<n次递降阶乘>=/

在这里以∫代表全部的∫<x,0>，以∑代替全部的∑<x=1,t=0>，只是象征性的话，以下的对比是可能成立的。

D←→Δ

∫←→∑

如果以∫是罗马文字的S，∑是希腊文字的S来想的话，对比就更有意思了，连续的世界是罗马，离散的世界是希腊啊。

◎◎◎

……我回想着米尔迦的话，我们以连续世界的知识为基础，探索着离散的世界，与其说是追求严密的定义，不如说是追求合适的定义过程，思考对应微分的差分，并以此为基础思考对应xn的xn，再来以无法构成微分方程式的差分方程式找到对应e<x次方>的2x。

在两个世界不断来回的旅程让人感到无限自由，这种快乐到底是从那里来的呢？

听着米尔迦的话，让我觉得虽然我没有办法在她的『最近距离』，但是我希望至少能在她的『最近间隔』。

◎◎◎

先不管这个……

「米尔迦，刚才我说过的那个女孩，之后也会继续来问问题……」

「那个女孩？」

「我的学妹。」

「名字是？」

「蒂德菈，她之后也会继续来找我问问题……」

「……所以……我不能坐在你旁边了？」米尔迦边写笔记本边问。她并没有看我。

「咦？啊，不是不是，当然米尔迦什么时候要坐我旁边都行，要什么都可以，我只是想说不要再踢她椅子了……」

「我知道了。」米尔迦抬起头打断我的话，不晓得为什么她会露微笑，「你会在图书室教你的学妹×蒂德菈数学，我记住了，不用担心。」

嗯～～到底是什么不用担心啊？

「回到数学上吧，再来要思考什么呢？」米尔迦说。

第7章折积

使人感到完全没有错误的完美解法，

是怎么样才能想到的呢？

使人感到充分展现事实的完美实验，

又是如何被发现的呢？

到底要怎么做，我才能想到或发现那些东西呢？

——波利亚[1]

7．1图书室