平方>整理过后

＝2x＋1

x<平方>的微分是2x，但是差分却是2x＋1，和刚才f＝x不一样，这次的微分与差分并不一致，这样就太无趣了，要怎么做才能让它们互相对应呢？

问题6－2

对应于连续世界的函数x<平方>，定义离散世界的函数。

……「要怎么做？」我因为米尔迦的问题陷入沉思，要如何才能让微分与差分互相对应，但是并没有想到什么好办法，在确定我没有要回答的意思之后，米尔迦用和缓的语调缓缓地开始说明。

◎◎◎

其实原本就无法用离散世界的x<平方>来对应连续世界的x<平方>，需要用在离散世界中替代x<平方>的这个函数来思考。

f＝

试着计算f＝的差分。

Δf＝Δ

＝－0)－1)－－0)－1)

＝×x－x×

＝2x

你看，这样就和微分一样了。

也就是说连续世界里x<平方>对应的是离散世界的。

为了让x<n次方>这个乘幂的对应更清楚，就以新的x<n次递降阶乘>这个递降阶乘来思考吧，对应的状况就像这样。

乘幂递降阶乘

x<平方>＝x×xx<2次递降阶乘>＝

若是写得更冗长，就能更清楚地看见对应的关系。

x<平方>＝←→x<2次递降阶乘>＝

解答6－2

x<2次递降阶乘>＝

在这里使用的递降阶乘xn如下定义。

※※递降阶乘的定义

x<n次递降阶乘>＝…))（共n个）

举例来说：

x<1次递降阶乘>＝

x<2次递降阶乘>＝

x<3次递降阶乘>＝

x<4次递降阶乘>＝

6．3．3三次函数x<立方>

那这次思考f＝x<立方>。

首先是微分。

Df＝Dx<立方>

＝lim<h→0,<立方>)－<立方>))/－)>

＝lim<h→0,－x<立方>)/h>

＝lim<h→0,/h>

＝lim<h→0,3x<平方>＋3xh＋h<平方>)>

＝3x<平方>把不包含h的项留下

在离散的世界中，对应x<立方>的是x<3次递降阶乘>＝，现在来计算x<立方>的差分。

Δf＝Δx<3次递降阶乘>

＝Δ

＝－0)－1)－2)－－0)－1)－2)

＝－

＝－)提取因式

＝3

＝3x<平方>

使用递降阶乘x<n次递降阶乘>的话，就能让微分与差分充分对应。

x<立方>←→x<3次递降阶乘>＝

Dx<立方>＝3x<平方>←→Δx<3次递降阶乘>＝3x<平方>

广义化。

x<n次方>的微分←→x<n次方>的差分

Dx<n次方>＝nx<n－1次方>←→Δx<n次方>＝nx<n－1次递降阶乘>

6．3．4指数函数e<x次方>

我们对微分算子定义了差分算子，再来为了让微分与差分完：对应，对乘幂x。定义了递降阶乘。

而现在要开始讨论指数函数e<x次方>，也就是寻找离散世界的指数函数。

※※问题6－3

对于连续世界的指数函数e<x次方>，定义离散世界的函数。

指数函数e<x次方>如同式子所示，是定数e的x次方函数，定数e是被称为自然对数的底的无理数。其值为2.718281828……虽然这是一个重要的知识，不过现在要站在更广的视点来看它。

指数函数e，在连续世界中有什么样的性质呢？

在这里稍微思考一下与微分关联的指数函数的本质。

指数函数e<x次方>最重要的性质就是『即使微分仍然不会改变』，也就是微分e<x次方