义成下面的式子，毕竟是同样的东西，无论如何，微分算子D就是从函数中再做出函数的高阶函数。

Df＝lim<h→0,－f)/h>

到目前为止都是关于连续世界的话题，x可以自由地滑动，而现在开始要进入离散世界了，既然是离散的世界，也就是像整数一样只能取个别的值，在连续的世界里，考虑的是将x移动『最近距离』的h在f上的变化量，然后将h→0的极限定义为微分，那么，假如将微分移到离散世界又会如何呢？

问题6－1

对应连续世界的微分算子D，定义离散世界的算子。

6．2差分

……我想着米尔迦的问题，只要在离散的世界里找出相对于连续世界『最近距离』的概念就可以了吧？我环视图书室一圈，然后对坐在身旁的米尔迦说出：「将『最近距离』换成『最近间隔』思考没错吧？」这个答案，她竖起了食指回答：「没错」。

◎◎◎

「没错。」

思考离散世界的时候，x＋0的『最近距离』会变成x＋1的『最近间隔』，不要用h→0，而是用h＝1思考，『最近间隔」就是离散世界的本质，注意到这点讨论就能顺利地展开。

[插图：画2条横向直线，上面一条画为实线，下面一条画为虚线。每条直线上任取一点x，在其右任取一点x＋h，则实线上两点之间的距离为「连续世界的『最近距离』」，虚线上两点之间的距离为「离散世界的『最近间隔』」]

从x＋0到x＋1的变化量就是－，这时函数f的变化量当然就是f－f，在这里也同样取出两者的比例一不过分母原本就是1。

－f)/－)

在离散的世界里没有必要取极限，这个式子就是『离散世界的微分』，也就是差分，差分算子Δ定义如下。

解6－1

Δf＝－f)/－)

也可以写成下式。

Δf＝f－f

间隔的差……确实是名副其实的Δ「差分」演算啊。

[插图：在只有正半轴的平面直角坐标系上画一条类似于f=2<x次方>的函数图像的曲线，在图像上任取一点)，在其右侧任取一点，则两点之间的横向距离为,纵向距离为f－f]

将连续世界的微分与离散世界的差分并排比较，为了让对比性增强，所以写得很繁琐。

连续世界的微分←→离散世界的差分

Df←→Δf

lim<h→0,－f)/－)>←→－f)/－)

6．3微分与差分

……米尔迦似乎很高兴，每次听她说话都会不知不觉地被拉到别的世界去。

啊，不过还是要好好和她说清楚。

「米尔迦，上次坐在我旁边的那个女孩……」

她将注意力从笔记本中移开，转头看向我，脸上一瞬间浮现了疑惑的表情后，立刻又将视线移回算式上。

「她是我国中时的学妹，然后……」

「我知道。」

「咦？」

「你之前说过了。」

她仍然注视着笔记本。

「然后，有时候我会教她数学。」

「这我也知道。」

「……」

「不具体说明就无法传达。」

她说完话就将自动铅笔在指间旋转。

◎◎◎

6．3．1一次函数x

「不具体说明就无法传达。」不用抽象的f，要用具体的函数来思考。

例如说将一次函数f＝x用微分与差分互相比较。

首先是微分。

Df＝Dx由f＝x得到

＝lim<h→0,－)/－)>由微分算子D的定义得到

＝lim<h→0,1>

＝1

然后是差分。

Δf＝Δx由f＝x得到

＝－由微分算子D的定义得到

＝1

微分与差分同样是1，这样就能确定函数f＝x的微分与差分是一样的。

6．3．2二次函数x<平方>

再来思考二次函数f＝x<平方>，这次微分与差分也会一样吗？

微分。

Df＝Dx<平方>由f＝x得到

＝lim<h→0,<平方>－<平方>)/－)>由微分算子D的定义得到

＝lim<h→0,/h>整理

＝lim<h→0,2x＋h>将h约分

＝2x

然后是差分。

Δf＝Δx<平方>由f＝x得到

＝<平方>)－<平方>)/－)由微分算子D的定义得到

＝<平方>－x<