式，F<0>x<1次方>－F<0>x<0次方>－F<1>x<1次方>会等于0。可以爽快地将它们消掉。

已经不需要用x<0次方>或x<1次方>这种麻烦的写法了，回到1与x，然后用F<0>＝0与F<1>＝1代入，会得到下列式子。

F×＝－x

将两边同除x<平方>＋x－1后整理，就得到F的闭公式，这就是F的模样。

F＝x/

斐波那契数列的生成函数可以变成如此单纯的闭公式真是令人愉快，毕竟这个算式中可是包含了无限延伸的斐波那契数列，很简洁吧。

0，1，1，2，3，5，8，……←→x/

※※斐波那契数列的生成函数F的闭公式

F＝x/

4．2．4用无穷级数表示

接下来我们思考斐波那契数列的生成函数F，将F的闭公式以x的无穷级数表示的话，其n次的系数应该就会变成Fn。

「所以说，下一个目标就是将下式以x的无穷级数表现。

x/

我们之前曾将分数形式的下式化成x的无穷级数。

1/＝1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……

所以，是否能将x/化成与1/类似的形式呢？假如可以的话，我们就能从生成函数的国度回到数列的国度了，还会带着斐波那契数列的一般项当作土产，到底有没有办法呢？」

◎◎◎

……米尔迦偷偷往我看来。对了，再来将生成函数F以无穷函数的形式表示的话，就能得到斐波那契数列的一般项吧，我专注在生成函数的形式上，想将它的构造看透。

F＝x/

分母1－x－x<平方>为二次式，总之先将1－x－x<平方>因式分解看看，我开始在笔记本上计算，米尔迦只是看着我动笔。

假设未知的定数r，s，可将1－x－x<平方>如下因式分解。

1－x－x<平方>＝

当如上因式分解后，就可以如下让分数和在通分时，刚好使分母为1－x－x<平方>。

1/+1/=某数/

=某数/

为了让此计算式等于x/，就必须决定r，s，来试着计算看看。

1/+1/＝/+/

＝x)/x+rsx<平方>)

嗯，好好选择r，s的话，分母1－x＋rsx<平方>这边似乎可以变成1－x－x<平方>，但是分子2－x的部分无法变成x，原因是常数项的2无法消掉。虽然很可惜，然而还是不行，真遗憾……

在我低喃的同时，米尔迦却说出『这样的话，之后就没问题了』这句话。

4．2．5解决

「这样的话，之后就没问题了。」

将分子也代入参数，也就是说，代入R，S，r，s这4个未知常数形成一列式……

R/+S/

然后计算。

R/+S/＝R/+S/

＝－x)/x+rsx<平方>)

为了让下式成立，要决定R，S，r，s这4个常数。

－x)/x+rsx<平方>)＝x/

比较两边结构，会发现只需要解出以下的联立方程式即可。

R＋S＝0

rS＋sR＝－1

r＋s＝1

rs＝－1

有四个未知定数与四个独立的式子，试着解出这个联立方程式吧，只剩下动手了。

首先将R与S以r与s表示。

R＝1/，S＝－1/

这样就快得到将F以无穷函数的形式表示的方法了，为了之后能求出r。s必须继续算下去。

F＝x/

＝x/

＝R/+S/

在这里带入R＝1/，S＝－1/

＝))－))

＝)－1/)

然后这里用＝1＋rx＋r<平方>x<平方>＋r<立方>x<立方>＋……跟＝1＋sx＋s<平方>x<平方>＋s<立方>x<立方>＋……

＝)－))

＝)x＋x<平方>＋x<平方>＋……)

＝/)x+/)x<平方>＋/)x<立方>＋……

整理之后就变成这样。

F＝0＋/)x+/)x<平方>＋/)x<立方>＋……

F0F1F2F3