这样就能将斐波那契数列的一般项以r，s表示。

F<n>＝/

之后就剩求出r，s了，r与s的联立方程式如下：

r＋s＝1

rs＝－1

要以一般解联立方程式的方式来解也可以，但是和为1且积为－1的两个数r，s，会等于方程x2－＋rs＝0的解，也就是所谓的「二次方程式的解与系数的关系」，理由则是由于下面的因式分解：

x<平方>－＋rs＝

也就是说，从r＋s＝1，rs＝－1，可以得到x＝r，s为以下方程序的解。

x<平方>－x＋rs＝x<平方>－x－1

＝0

利用二次方程式解的公式，可以得到以下结果。

x＝/2

假定r＞s，则……

r＝/2

s＝/2

而r－s＝<根号5>，所以……

/=/2)<n次方>-/2)<n次方>)

可以得到斐波那契数列一般项F<n>如下。

F<n>＝/2)<n次方>-/2)<n次方>)

好，这样就解决了。

※※解答4－1

F<n>＝/2)<n次方>-/2)<n次方>)

4．3回顾

……我还是无法接受，真的是这个答案吗？毕竟斐波那契数列全部都是整数，我不认为一般项会出现<根号5>。

脸上浮现满足表情的米尔迦一口气将已经变凉的咖啡喝完，对于我的疑问则是回答：「要试试看吗？」

那么，就以n＝0，1，2，3，4为例来验算。

F<0>＝/2)<0次方>-/2)<0次方>)＝0/<根号5>＝0

F<1>＝/2)<1次方>-/2)<1次方>)＝<根号5>/<根号5>＝1

F<2>＝/2)<平方>-/2)<平方>)＝4<根号5>/4<根号5>＝1

F<3>＝/2)<立方>-/2)<立方>)＝16<根号5>/8<根号5>＝2

F<4>＝/2)<4次方>-/2)<4次方>)＝48<根号5>/16<根号5>＝3

0，1，1，2，3，确实是斐波那契数列。喔～～原来如此，实际计算的时候，分子跟分母会同时将<根号5>消掉啊！！

嗯，真厉害，我一边喝着咖啡，一边回顾今天的整个流程，想我们求出斐波那契数列的一般项，为此依着以下的顺序前进。

思考与斐波那契数列的Fn的系数有关的生成函数F。

求函数F的闭公式，这里使用了斐波那契数列的递推公式。

将函数F的闭公式以无穷级数的形式表示，这时候的系数xn为斐波那契数列的一般项。

也就是说，使用与数列系数相同的函数——生成函数一一来『抓到数列』了，原来如此……不过，还真是漫长的旅途啊。

※※『求斐波那契数列的一般项』旅行地图

斐波那契数列→生成函数F

↓

斐波那契数列一般项←生成函数F的闭公式

接着米尔迦开始说：「生成函数是操作数列的有效方法。原因在于，我们熟知的函数解析方法都能在生成函数的国度里发挥效用，而在函数中培养的技术也能活用在数列的研究中。」

我边听着米尔迦说话，边担心别的事情。在计算无穷级数的时候，变更和的顺序不是不太好吗？米尔迦……这真的没问题吗？

「不清楚说明条件的话确实不好，不过这次就不要计较了，把使用生成函数发现的东西当成秘密，改用数学归纳法证明得出的一般项不就可以了。」

米尔迦爽快地回答。

……在展开长长的算式时，

使用生成函数这个重要的手段，

是为了要表示最初找出这个等式的方法，

——高德纳『TheArtofComputerProgramming』[22]

第5章算术平均数与几何平均数的关系

一切创造的喜悦，

都在可能立即消失的边缘在线上徘徊。

——霍夫斯塔特『メタマジック×ゲーム』[5]

5．1在『学仓』

隔天。

放学后，我急忙走在校园的树荫道中，一