x<平方>＋F<3>x<立方>＋F<4>x<4次方>＋……

＝0x<0次方>＋1x<1次方>＋1x<平方>＋2x<立方>＋3x<4次方>＋……

＝x＋x<平方>＋2x<立方>＋3x<4次方>＋……

接着要调查函数F的性质，由于函数F的系数Fn是斐波那契数列，活用这一点似乎就可以看出关于函数F的有趣性质。

斐波那契数列的性质是什么？当然是递推公式F<n>＝F<n－2>＋F<n－1>，要好好利用这个公式，F<n－2>，F<n－1>，F<n>，这些系数则在F如下登场。

F＝……＋Fn－2－2x<n－2次方>＋F<n－1>x<n－1次方>＋F<n>x<n次方>＋……

虽然想将Fn－2跟F<n－1>相加，但是由于x的次数不同而无法相加，到底该怎么办？

◎◎◎

……米尔迦看向我。嗯，的确，x的次方不同的话就无法相加，数不同就无法整合，不过本来数列与生成函数的对应，就是要避免x的次数混淆吧？数列与生成函数要如何对应，真的会有这么有趣的事情发生吗？米尔迦马上说出『很简单』这句话。

4．2．3求闭公式

「很简单。」

x的次方不同的话，就将不是的部分补上x就好了，乘法在指数上就变成加法，也就是所谓的指数法则。

x<n－2次方>×x<平方>＝x<n－2+2次方>＝x<n次方>

将F<n－2>x<n－2次方>乘以x<平方>就会变成Fn－2x<n次方>，照下面算式就能全部整合成x<n次方>，为了方便整合，这里将1视为x<0次方>。

F<n－2>x<n－2次方>×x<2>＝F<n－2>x<n次方>

F<n－1>x<n－1次方>×x<1>＝F<n－1>x<n次方>

F<n－0>x<n－0次方>×x<0>＝F<n－0>x<n次方>

这样就能对函数F使用斐波那契数列的递推公式了，分别观察F乘以x<平方>，x<1次方>，x<0次方>的式子吧。

式子A：F×x<平方>＝＋F<0>x<平方>＋F<1>x<立方>＋F<2>x<4次方>＋……

式子B：F×x<1次方>＝＋F<0>x<1次方>＋F<1>x<平方>＋F<2>x<立方>＋F<3>x<4次方>＋……

式子C：F×x<0次方>＝F<0>x<0次方>＋F<1>x<1次方>＋F<2>x<平方>＋F<3>x<立方>＋F<4>x<4次方>＋……

这样次方就整合了，展开式A，B，C进行接下来的计算，如此一来，同次方的系数就可以使用F的递推公式。

式子A＋式子B－式子C

计算的时候，将左边如下处理。

＝F×x<平方>＋F×x<1次方>－F×x<0次方>

＝F×

然后右边如下。

＝F<0>x<1>－F<0>x<0次方>－F<1>x<1次方>

＋×x<平方>

＋×x<立方>

＋×x<4次方>

＋………………

＋×x<n次方>

＋……

右边留下一开始的F<0>x<1次方>－F<0>x<0次方>－F<1>x<1次方>，其它会被全部消去，这是因为依照斐波那契数列的递推公