对应的生成函数……吧？」米尔迦以温柔和缓的声音说着，」若是能求出生成函数的闭公式，则此闭公式也会与数列对应。」

「所以我稍微想了一下……」她说着说着，声音也像是在透露不能被别人知道的宝藏场所一样渐渐变小，并将脸靠近我，可以闻到她身上淡淡的橘子香。

「从现在开始，要在两个国度间来回奔跑。」米尔迦细语。

为了不听漏这些秘密的话语，我竖起耳朵，不过……两个国度？

「我想抓住数列，但是要直接抓住是很困难的，这时候就要从『数列的国度』到『生成函数的国度』，之后再回到『数列的国度』，这样或许就能抓到数列……」

「现在是闭校时间。」

突如其来的声音让我们都吓了一跳，凑在一起专心讨论的我们完全没有注意到图书管理员瑞谷老师站在我们身后。

※※数列与生成函数的对应

数列←→函数

〈a<0>，a<1>，a<2>，a<3>，……〉←→a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……

4．2抓住斐波那契数列

这是我们往附近的饮料店移动，点了饮料后继续数列的话题，「抓住数列？什么意思？两个国度又是什么？」对于我的疑问，米尔迦用手扶正眼镜，说了声「是啊」后开始讲解。

4．2．1斐波那契数列

「是啊，这比喻是稍微异想天开了点。『在两个国度间来回抓住数列』就是『使用生成函数求出数列的一般项』的意思。」

现在来看看旅行地图吧，首先先求与数列对应的生成函数，再来将生成函数变形做出闭公式，然后将闭公式以幂级数展开求取数列的一般项，也就是说，经由生成函数可以发现数列的一般项。

※※『使用生成函数求出数列的一般项』的旅行地图

数列→生成函数

↓

数列的一般项←生成函数的闭公式

那么就以典型的斐波那契数列来思考，你知道斐波那契数列吧。

{0，1，1，2，3，5，8，……}

这是将临接的两项相加而得到下一个数的数列。

0，1，0＋1＝1，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5。3＋5＝8，……

虽然也有从1开始的情况，不过现在就从0开始。

将斐波那契数列的一般项设为F<n>F<0>等于0，F<1>等于1，当n≥2时，F<n>＝Fn－2＋F<n－1>，也就是说F<n>被定义为一种递推公式。

※※斐波那契数列的定义

F<n>＝0

F<n>＝1

F<n>＝Fn－2＋F<n－1>

这个定义能将斐波那契数列『相邻的两项相加而得到下一个数』的特性充分展现，而且如同F<0>，F<1>，F<2>，……一样，斐波那契数列可以用计算循序渐进算出答案，但是并无法表现出F<n>为『对n的闭公式』，也就是F<n>并不是直接使用n的式子，这就是我所说『未捕捉』的状态。

当问题是「斐波那契数列的第1000项为何？」时，就必须以F<0>＋F<1>求得F<2>，F<1>＋F<2>求得F<3>，持续计算到F<998>＋F<999>最后得出F<1000>，要用递推公式求斐波那契数列就必须经过n－1次的加法，这样太麻烦了，我希望能以F<n>表示『对n的闭公式』，『对n的闭公式』概略来讲就是『将已知的计算过程在有限的次数内组合而成的公式』。

我希望以F<1>表示『对n的闭公式』，来抓住斐波那契数列。

※※问题4－1

以斐波那契数列的一般项F<n>表示『对n的闭公式』。

4．2．2斐波那契数列的生成函数

那么，将斐波那契数列对应的生成函数当作F，也就是说，对应关系如下：

数列←→生成函数

F<0>，F<1>，F<2>，F<3>，……F

将F的系数x<n>设为F<n>，可以具体地写成下列算式，这样我们就到了生成函数的国度了。

F＝F<0>x<0次方>＋F<1>x<1次方>＋F<2>