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＝1－x<n次方>＋1

◎◎◎

……原来如此，不过这并没有想象中有趣，是很常见的展开与广义化，比起这个，我更在意刚刚被踢椅子的蒂蒂现在的状况，米尔迦却说出『到这里为止都很普通』后，就继续写下去。

4．1．2等比数列的和

「到这里为止都很普通。」那么接下来会怎么进行呢？将刚才的算式再写一次。

＝1－x<n次方>＋1

在这里将两边同除1－x，由于0不能当除数，所以假设1－x≠0。

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋x<4次方>＋……＋x<n次方>＝

到刚才为止都是关于『求积的公式』，而现在则是『求和的公式』:实际上，这就是等比数列的求和公式，说得更清楚一点，是第0项为1，公比为x的等比数列，也就是1，x，x<平方>，x<立方>，……，x<n次方>，……这个数列从第0项到第n项的和。

「那么，接下来要怎么发展呢？」

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……我则是回答『会自然想到等比数列的无穷级数吧』，不是到第n项为止的有限和，而是无限的和。「是啊。」米尔迦微笑着回答我。

4．1．3迈向无穷级数

「是啊，思考无穷级数吧。」

无穷级数1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……，被定义为这个等比数列部分和的极限。

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋x<4次方>＋……＋x<n次方>＝/

当x的绝对值小于1，也就是|x|＜1时，使n→∞的话，会让x<n次方>＋1→0，也就是下式成立。

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＝1/

这样就得到了无穷级数的公式，|x|＜1是为了在n→∞时，让x<n次方>＋1→0必要条件。

※※等比数列的无穷级数

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＝1/

这是第0项为1，公比为x的等比级数，且|x|＜1。

「你不觉得很有趣吗？左边是无穷数列的和，有无限个项，而且还无法全部写出来。可是相对的，右边却只有一个分数，无数项的和竟然以一个分数表现就可以了，这不是简洁到令人愉快吗？」

◎◎◎

……窗外已经渐渐暗了下来，图书室里只剩下我和米尔迦，米尔迦似乎是兴致来了，不等我回答就接着说：「接下来就继续朝生成函数前进吧。」

4．1．4迈向生成函数

「接下来就继续朝生成函数前进吧。」

以后就省略了收敛的条件，首先将刚才等比级数的无穷级数当成x的函数思考。

1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……

在这里为了要让此函数的n次系数更明显，所以将系数写出来。

1x<0次方>＋1x<1次方>＋1x<平方>＋1x<立方>＋……

像这样，各系数就形成了1，1，1，1，……的无穷数列，接下来的对应是……

数列←→函数

1，1，1，1，……←→1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……

也就是说，数列〈1，1，1，1，……〉与1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……函数可以当成是一样的，由于1＋x＋x<平方>＋x<立方>＋……＝1/，所以将其如下置换。

数列←→函数

1，1，1，1，……←→1/

这种数列与函数的对应可以如下广义化。

数列←→函数

〈a<0>，a<1>，a<2>，a<3>，……〉←→a<0>＋a<1>x＋a<2>x<平方>＋a<3>x<立方>＋……

这种与数列对应的函数称为生成函数，就是将分散的无数项集合成一个函数，生成函数即是x乘幂的无限和，也就是被定义为幂级数……

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……说到这里，米尔迦意外地安静下来，她像在思索似地保持沉默闭上双眼、缓缓地呼吸。

为了不打扰她，我只是在一旁静静地看着，看着她嘴唇美好的曲线、数列与对应的函数、金属框的眼镜、等比数列的无穷级数……以及生成函数。

米尔迦张开双眼。

「现在是在思考数列与