;平方>跟b<平方>的平均。」

「啊……原来如此。这是将a<平方>和b<平方>相加，再除以2。」

「嗯，式子的左边写着a<平方>跟b<平方>，在这里我要将右边的ab也一样用a<平方>跟b<平方>表示。」

「啊、啊」……

「不，没有为什么一定要这样做的规则，只是有时候我会想这样做而已。」

「啊，好的。」

「下一步会稍微跳得有点快，要注意喔。为了将ab以a2跟b2表示，就要变形成下面的算式，你认为这个等式会必然成立吗？」

ab＝<根号a<平方>b<平方>>

「这个……平方之后就可以拿掉根号，拿掉根号之后，会回复原来的样子』对，我想应该是必然成立。」

「不，不对，平方去掉根号之后会回复原状的只有0以上的数，ab有可能是负数，所以若是没有设立条件的话这个等式不会成立。」

「唉呀，疏忽条件了。」

「是啊，假设以a＝2和b＝－2来想就知道了。左边是ab＝2×＝－4，右边却是<根号a<平方>b<平方>>＝<根号2<平方><平方>>＝<根号16>＝4。」

「真的是这样」……蒂蒂一边确认我写的计算式，一边点头。

「那这次就加上条件，加上ab≥0这个条件的话，下面的等式就会成立了。」

ab＝<根号a<平方>b<平方>>但是ab≥0

「然后将刚才的不等式，/2≥ab写成……」

/2≥<根号a<平方>b<平方>>但是ab≥0

「好的」……虽然蒂蒂这样回答，不过她仍旧专心地思考。

「……等一下，学长，这里怪怪的。这ab≥0的条件是必要的吗？我还是不懂，当ab＜0的时候，这个等式不是也会成立吗？就像下面这个例子，当a＝2而b＝－2时，左右两边会分别如下。」

左边＝/2

＝<平方>)/2

＝4

右边＝<根号a<平方>b<平方>>

＝<根号2<平方><平方>>

＝<根号16>

＝4

「所以左边≥右边会成立喔，学长。」

「真亏你能发现呢，蒂蒂，确实不附上ab≥0这个条件好像也可以，不过要怎么取消这个条件呢？」

蒂蒂想了一下，最后摇摇头。

「……不知道。」

「要取消ab≥0这个条件，就必须证明即使ab＜0，这个不等式也会成立。」

「ab＜0的时候，a与b其中一边是正的，另一边是负的，那先假定。a＞0与b＜0好了，现在以满足c＝－b的数c思考，因为b＜0，所以c＞0，由于/2≥ab对任何实数均成立，所以对a和c也成立，所以下式成立。」

/2≥ac

「然后将左右分开来看。」

左边＝/2

＝<平方>)/2因为c＝－b

＝/2

右边＝ac

＝<根号a<平方>c<平方>>因为ac＞0

＝<根号a<平方><平方>>因为c＝－b

＝a<平方>b<平方>

「所以下面的式子成立。」

/2≥a<平方>b<平方>但a＞0且b＜0

「到这里的讨论是假设『a为正真b为负』，反过来说『a为负，b为正』也一样。根据以上证明，对任意实数a与b，下面的不等式成立。」

/2≥a<平方>b<平方>但a跟b为任意实数

蒂蒂看着写在笔记本上的算式陷入沉思，虽然花了一段时间，不；她终于抬起头。

「原来如此，我懂了……啊，还有一点，所谓『任意』是什么意思？」

「所谓『任意』就是『任何其中一个』或是『无论是哪一个』的意思，相当于英文的any，也有用『对所有的……』来表示的方法，英文的话就是「forall」。」

「啊，我知道了，『任意实数』就是指『无论哪一个实数』的意思吧。」

我继续说下去。

「那这里将两边的式子用a<平方>跟b2表示，并将a<平方>跟b<平方>以