，然后将算式展开，再来思考『θ旋转两次就等于2θ的旋转』，可以得到两个关于θ的恒等式。」

米尔迦拿走我手上的笔，在笔记本的右端用小字写上两行式子，同时米尔迦的手也碰到了我的手。

cos2θ＝cos<平方>θ－sin<平方>θ

sin2θ＝2sinθcosθ

「这是什么？」

看着笔记本上的公式，我在心中回答着，但是却没有出声。

「不知道？这是两倍角公式啊。」

米尔迦站起身，我闻到了淡淡的橘子香。

她开始摆起教师的姿态，不等我回答就继续说下去，不过一直以来都是如此。

「将θ角的旋转表示在下面的式子。」米尔迦说。

◎◎◎

将θ角的旋转表示在下面的式子。（JoyJ：以下为诡异内容……一介高中生不懂，请多包涵）

|cosθ－sinθ|

||

|sinθcosθ|

『将θ角连续旋转2次』就相当于上式的平方。

|cosθ－sinθ|<平方>|cos<平方>θ－sin<平方>θ－2sinθcosθ|

||=||

|sinθcosθ||2sinθcosθcos<平方>θ－sin<平方>θ|

所以『将θ角连续旋转2次』可以视为『旋转2θ』因此上面的式子就等于下面的式子。

|cos2θ－sin2θ|

||

|sin2θcos2θ|

比较算式的内容，可以得到以下两个等式。

cos2θ＝cos2θ－sin2θ

sin2θ＝2sinθcosθ

也就是说cos2θ与sin2θ可以用cosθ与sinθ表现，将2θ用θ表示的式子，就称为两倍角公式，将旋转以算式呈现并重新解释其中的内容，就可以导出两倍角公式。

用等号表示『2θ旋转一次』与『θ旋转2次』两者相同，发现两种姿态其实是同样的东西时，是一件多美好的事情啊。

◎◎◎

听着米尔迦说话的同时，我的脑袋在思考着另外一件事情。聪明的女孩，美丽的女孩，当注意到两者其实是同一个人时，是一件多美好的事情啊。（JoyJ:我求真相，我求等距变换真相==）

然而我仍旧不发一语，默默地听着米尔迦说话。

3．2振动与旋转

先不管之前的算式……米尔迦边说边在我的笔记本中写下了这样的问题。

※※问题3－1

用n表示下列一般项a<n>。

n01234567……

a<n>10－1010－10……

「解得出来吗？」

「很简单啊，数列在1，0，一1之间来回，或是说成振动比较好？」我回答。

「喔，原来你是这样看这个数列的。」

「不对吗？」

「不，你的想法没错，那么……请将这个『振动』用一般项表现出来。」

「一般项……也就是说用n表示a<n>就行了吧。嗯，将状况分类的话就马上有答案了。」

a<n>=1

a<n>=0

a<n>=－1

「嗯，是没错，不过这样就不像振动了。」

米尔迦闭上双眼，食指左右摇晃。

「那么接下来思考这个问题，要怎么化成一般项呢？」她张开眼睛问着。

※※问题3－2

用n表示下列一般项b<n>。

n01234567……

b<n>1i－1－i1i－1－i……

「i是指<根号－1>吗？」我提出问题。

「除了虚数单位以外还有别的i吗？」

「不……算了，先不管这个。这个数列b<n>在n为偶数时是＋1或－1，当n为奇数时为＋i或－i，这也是振动的一种吗？」

「当然不是，你将这个数列当成是振动？」

「除此之外还有别的理解方式吗？」我问。

米尔迦在闭上眼的一瞬间回答。

「用复数平面思考看看吧。复数平面就是x轴是实数轴，y轴是虚数轴的坐标平面，这样的话，全部的复数都能在这平面上以点来表现。」

复数数←→点

x＋yi←→

将问题3－2的数列b<n>用复数的列思考的话，1就是1＋0i，i就是0＋1i。

1＋0i，0＋1i，－1＋0i，0－1i，1＋0i，0＋1i，－1＋0i，0－1i，……