1＋…＋1＋1

P<8>的部分

8＋<删除线1>

7＋1＋<删除线1>

6＋2＋<删除线1>

6＋1＋1＋<删除线1>

5＋3＋<删除线1>

5＋2＋1＋<删除线1>

5＋1＋1＋1＋<删除线1>

4＋4＋<删除线1>

4＋3＋1＋<删除线1>

4＋2＋2＋<删除线1>

4＋2＋1＋1＋<删除线1>

4＋1＋…＋1＋<删除线1>

3＋3＋2＋<删除线1>

3＋3＋1＋1＋<删除线1>

3＋2＋2＋1＋<删除线1>

3＋2＋1＋1＋1＋<删除线1>

3＋1＋…＋1＋<删除线1>

2＋2＋2＋2＋<删除线1>

2＋2＋2＋1＋1＋<删除线1>

2＋2＋1＋…＋1＋<删除线1>

2＋1＋…＋1＋<删除线1>

1＋…＋1＋<删除线1>

P<7>的部分

7＋<删除线2>

5＋2＋<删除线2>

4＋3＋<删除线2>

3＋2＋2＋<删除线2>

P<7>的部分

<<删除线2>＋1＋…＋1>

<6＋<删除线2>＋1>

<5＋<删除线2>＋1＋1>

<3＋3＋<删除线2>＋1>

由于这种操作存在，所以『支付k＋2元的方法』的个数不会超过『支付k＋1元的方法』与『支付k元的方法』的个数总和。

所以从以上的讨论，可以得到对所有整数k≥0，分拆数P<k＋2>，P<k＋1>之间会成立以下不等式。

P<k＋2>≤P<k＋1>＋P<k>

再来假设

P<k>≤F<k＋1>且P<k＋1>≤F<k＋2>

成立时，加上上面的结果，下面的式子就会成立。

P<k＋2>≤F<k＋2>＋F<k＋1>

从斐波那契数的定义可以得到右边的算式等于F<k＋3>，因此下式成P<k＋2>≤F<k＋3>

因此对任意整数k＞0……

P<k>≤F<k＋1>且P<k＋1>≤F<k＋2>所以P<k＋2>≤F<k＋3>

成立。

由数学归纳法得到对任意整数n≥0，P<n>≤F<n＋1>成立。

嗯，到这里告一段落，分拆数P<n>会一直被斐波那契数F<n＋1>压住。喔，工作还没结束唷，我们还没解出问题10－2，用F<k＋2>＝F<k＋1>＋F<k>做出斐波那契数的列表。

n012345678910111213141516……

P<n>01123581321345589144233377610987……

从表中得知F<16>＝987，所以会变成下列算式成立……

P<15>≤F<16>＝987＜1000

也就是说

P<15>＜1000

因此问题10－2的不等式成立，好，这样就真的结束了。

不用求一般项P<n>，也不用求P<15>的证明完成了。

※※解答10－2

P<15>＜1000

米尔迦心满意足地结束她的发表。

10．5．3蒂蒂的发表

「那、那个……」这次换蒂蒂举手。

「好的，蒂德菈，哪里有问题吗？」米尔迦指向她。

「不，不是问题……我也要发表问题10－2的解。」蒂蒂说。

「喔，那就换手吧。」说完，米尔迦递出