…

x×C<平方>＝x×Σ<n=0到∞,C<n＋1>x<n次方>>

将右边的x加入∑中。

x×C<平方>＝Σ<n=0到∞,C<n＋1>x<n＋1次方>>

将n＝0的部分视为n＋1＝1，这是为了配合标记与指数。

x×C<平方>＝Σ<n＋1＝1到∞,C<n＋1>x<n＋1次方>>

然后将n＋1全部置换成n。

x×C<平方>＝Σ<n＝1到∞,C<n>x<n次方>>

很好，这样右边的就几乎等于生成函数C了，只需要将C<n>的部分减掉。

x×C<平方>＝Σ<n＝0到∞,C<n>x<n次方>>－C<0>

这样就把n消掉了！

x×C<平方>＝C－C<0>

用C<0>＝1代入，将式子作整理。

x×C<平方>＝C＋1＝0

得出了C的二次方程式，令x≠0然后求解舍得到下式。

C＝/2x

嗯。

很顺利。

从生成函数的积做出漂亮的「积的和」，然后导出闭公式，没想到生成函数的积会这么有用。

不过我还不晓得为什么会有两个一正一负生成函数，而且<根号1－4x>的部分又是怎么回事？似乎还有很深的谜。

不过不管怎么说，n都已经消掉了。

我导出了生成函数C的闭公式。

之后就是将这个闭公式以幂级数展开就好。

7．5图书室

7．5．1米尔迦的解

隔天放学后的图书室里，米尔迦坐在我的身旁。

「原本想用递推公式的……」米尔迦先开口：「……不过中途改变方针了。」

「咦？不用递推公式解吗？」

「我没有用递推公式来解，因为我找到了更好的对应。」

我打开笔记本，米尔迦迅速地在上面写。

「以n＝4来举例。

＋))

仔细观察的话，即使『括号的后半』消掉了也可以复原。

((0＋1＋(2＋(3＋4

能让括号可以复原的，就是『加号连结两个项』的限制。」

「原来如此，只要在即将出现的两个项时插入括号的后半就可以了。」我了一下回答她想，我虽然放弃了，但是没想到＋))可以更简化。

米尔迦的嘴唇微微上扬露出微笑。

「说得更明白一点，数字根本就不必要，可以直接变成……

（（＋＋（＋（＋

这是可以复原的，只要在加号的左侧填入数字，不过最后的4要写在右侧。」

「原来如此。」我说。

「简单来说括括号方法的总数就是『括号前半』与『加号』的排列组合，以n＝4来说，就是4个括号前半与4个加号的排列，假设以8个＊并排。

＊＊＊＊＊＊＊＊

然设将其中4个变成括号前半。

（（＊＊（＊（＊

然后再将剩下来的自动变成加号。

（（＋＋（＋（＋

从8个符号里（括号与加号各4个），选出变为括号前半的4个演算组合就是，选出变为括号前半的n个作组合，也就是()<2n,n>……像这样组合的话，也等同于下图中方格路径的最短路线，从左下的S开始，到右上的G，箭头指的道路对应（（＋＋（＋（＋的文字列。」

[插图：画一个4格×4格的表格，每格均为正方形。左下角一点为S，右上角一点为G。在最左一列的每格左侧写一个（，在最上一列的每格上方写一个＋。之后从左下角沿表格线描箭头：上上右右上右上右，从S点一直描到G点]

「那么，接下来……」

「等一下」……我打断了滔滔不绝的米尔迦。

「米尔迦，这里有点奇怪。因为这并不是在8个之中任意取4个，譬如说，就算将括号与加号各取4个也不能排成这样啊。

（（＋＋＋＋（（

将这个对应在你画的图上就知道了，这个图表不能经过有◎的地方再到达终点。」

[插图：画一个4格×4格的表格，每格均为正方形。左下角一点为S，右上角一点为G。在最左一列的每格左侧写一个（，在最上一列的每格上方写一个＋。之后从左下角沿表格线描箭头：上上右右上右上右，从S点一直描到G点。之后在S点右边一个格的交叉点处画◎，并在其右上方45度角的所有交叉点上画◎]

被打断话的米